Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Absch-nitt XXT

Zahi anazunehmen. In den ersten achit der zelin Probleme, mit denen
seine Abliandlung sich beschUiftigt, behandelt Lagrange den Fall,
daB eine endliche Anzahl diskreter Fehier begangen sei; von da aus
maclit er den fYbergang zu der, in der Natur begrihndeten Annahime,
daB unendlich viele Fehlermo~gliehkeiten innerhaib gewisser Grenzen
vorliegen. Am Schiusse der Abbandlung gelit Lagrange direkt auf
diesen natiirlichen Fall eim. Dabei fiihrt er den Begriff der F ehlerwahrscheinlichkeit emn, und stitzt diesen auf die gemachten Beobachtungen; ist x die Gr6Be des Feblers, so ist die Felilerwalirscheinlichikeit y hierfllr gleich der Anzahl der Male, in denen x aufgetreten ist, dividiert durch die Gesamtzahl der Beobachitungen. In
den gegebenen Beispielen wird einmal y als Konstante, einmnal als
y =e'St. (p2 - X2 ) angenommen, so daB hier die beiden Grenzen der
Feliler - p und -f p sind. Die zweite Hypothese fuir y erkldrt L agrange fflr die einfachste und naturgemiiBeste, die man erdenken
k6nne. Ein letztes Beispiel nimmt y == est. cos x an. Auf eine theoretische Annalime, die zu der jetzt iiblichen Fehlerwahrscheinlichkeitsfunktion ftihren kdnnte, gelit Lagrange niclit emn.
Von ganz anderen Gesiclitspunkten 10lt sich Daniel Bernoulli
in seiner,,Dijudicatio miaxime probabilis plurium observationum discrepantium atque verisimillima inductio inde formanda" (Act. Acad.
Petrop. 1777 [1778], p. 3-23) leiten. Kommen, so iiberlegt er,
grol~e Abweicliungen unter den Beobaclitungen vor, so werden mit
einem gewissen Rechte die extremen Resultate weggelassen; das anithmetische Mittel verliert in solehem Falle seine Gllltigkeit als walirscheinliclister Went. Vor allem ist emn Gesetz fUr die Wahrscbeinliclikeit der Feller, als eine Funktion ihrer Gro"Be, aufzusuchen. Falls
x die Gr6Be des Fellers und y die Walrscheinlichkeit seines lEintreffens ist, findet Bernoulli folgende Annalimen Uiber y n6tig:
a) y mnuB fMr -F x und -x gleichen Went haben; b) mit wachsendem
x mufi y abnehrnen; c) im h~ichsten Punkte der Fehlenkurve y == f(x)
muB die Tangente parallel den x-Adhse laufen; d) y =- f'(x) muB auf
den x-Achse enden; e) die Tangenten in diesen Endpunkten mtissen
senkrecht auf der x-Achse stehen. Uber d) und e) kann man geteilter Ansicht sein.; jedenfalls haben diese ilypothesen sich im Venlaufe den weiteren, Entwicklung nielt durchgesetzt. Als Felilerfunktion y == f(x) wiihlt der Verfasser einen Halbkreis y == c. J/'r2 2
dessen Radius bei jeder lintersuclung experimentell dadunch zu bestimmen ist, daB - r und + r als Grenzen ffir m~gliche negative und
positive Feblen genommen werden. Es kommt ferner noch auf die
Lage des llalbkneises, d. h. auf die seines Mittelpunktes an, der so
festgelegt wird: A, A + a, A + b,..., die nach steigender GrdBe