Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Wahrscheinlichkeitsrechnung.24

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von AB sei x ==AF =- BH. Alle, Werte von x = 0 bis x =- a seien
fair die Ruhelage der Kugel gleich wahirscheinlich. Nun wird eine
zweite Kugel auf die Tafel geworfen; ihre Ruhelage habe von AB
die Eutfernung t. Der Wurf der zweiten Kugel finde (m -H n) mal
statt. Es soil, bevor die erste Kugel geworfen ist, die Walirseheinliclikeit daftir
bestimmt werden, daB x zwischen zwei
gegebene Grenzen b AK und c = ANA
fiit, und daB sich dann m mal ~ < x und
n mal ~ > x bei den Wfirfen mit der
zweiten Kugel herausstellt. Bayes zeichnet L i
tiber AD eine Kurve mit der Ordinate - f
Fig. 2.
y = xP (a - x')7 und zeigt, daB die gesuchte,
Walirscheinliclikeit, abgesehen von einem konstanten Faktor,
= KJMNK
wird. Nimnmt man b =- 0, c == a, so wird die Walirseheinliclikeit
=AJEMDNKA.
Da diese Walirseheinliclikeit = 1, d. h. GewiBheit wird, so bestimmt
sich dadurch der konstante Faktor. Daraus folgert B ay e s: Wissen wir,
daB bei den (m + n) Wiirfen der zweiten Kugel m mal ~ < x und
n mal t > x gewesen ist, dann wird die Wahrscheinlichkeit daffir, daS?
b < x < c ist gleich dem Quotienten der Filichen KJMNK und
AJEMDA, oder in unserer Schreibweise
fx(a - x)9dx
_ _ b
(a -x)!7dx
0
Man kaunt Laplace nur beistimnimen, wenn er diese Schhisse ein
wenig verwickelt nennt.
Laplace stellt, seinerseits das Prinzip, auf das sich die Untersuchung der Wahirscheinlichkeit von Ursachen aufbant, an den Beginn
seiner Abhiandlnng'). Er gibt ilim die Form: Ist ein Ereignis A die
Folge einer der n Ursachen B,, B2,...', B., derart daB jedes Bi dem,
Eintreffen von A die Wahrscheinlichkeit w. erteilt, dann ist die
Wahrscheinlichkeit dafflr, daB B.a das Eintreffen von A hervorgerufen
hat, W.: 27w. L apila ce erkhIrt dies Prinzip an einem, Beispiele: Es
1)Wmoires..Acad. des sciences a! Paris VI (1774), p. 621.