Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Wahrseheinliehkeitsrechnung.25

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Die Entstehung des Genueser Zahien-Lotto ist bereits oben (B3d. 1112,
S. 336) besprochen und seine Einrichtung mitgeteilt; wir erwillnen
dabei, daB Laplace (Me'm. de Paris VI, 1774, p. 3605) dieses Spiel
als,Lotterie der Militiir-Schule" bezeichnet, ohne einen Grurid ffir diese
Benennung anzugebena: Aus 90 mit den fortlaufenden Zahien 1 bis
90 bezifferten Marken werden 5 Gewinurnarken herausgegriffen. An
diese Einrichtung der Genueser Zahien-Lotterie kniipfen sich mehrere
interessante Fragen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Das Erseheinen
von 2 aufeinander folgenden Zahien unter den Gewinrimarken heilbt eine
Sequenz oder eine Folge. Wie groB ist die Wahrscheinlichkeit, daB
bei einer Ziehung eine Sequenz auftritt? Euler hat dieses Problem
in dem Aufsatze:,,Sur la probabilite6 des sequences dans la loterie
genoise", Histoire de l'Acad. "a. Berlin 1765 (1767), p. 191-230
aufgeworfen und erledigt. An gleichem Orte p. 271-280 und im Anschiusse an diesen Aufsatz behandelt Be gu eli n die gleiche Frage in
der Arbeit:,,7Sur les suites et les sequences dens la loterie de Ge-nes".
Der Untersehied zwiscben beiden ist nur der, daB Beguelin auch
die Nummern 90, 1 als Sequenz auffal~t, also eine kreisartig geselilossene Folge der Nummern annimmt. Johann III. Bernoulli
inimmt in einer schon frilfier verfaBten, aber erst spilter verbffentlichten
Arbeit:,,Sur les suites ou sequences dains la loterie de Ge'nes"
(ibid. 1769 [1771], p. 234-253) den gleichen Standpunkt ein wie
Beguelin. Werden aligemein n Nummern angenommen, von denen r
gezogen werden, so ist die Wahrscheinlichkeit bei der Eulersehen
Annahme - + 1)n~ fair das Nichtauftreten einer Sequenz und
-n (lry):() bei der Bernoulli-Beguelinschen. Beguelin
gibt eine mechanische Aufstellung der m~glichen Ziehu-ngen ohne
Sequenz, die an die Hindenburgsehen kombinatorischen Regeln erinnert und,,involutorisch" genaunt werden kann. Wir wollen an,einlem- Beispiele zeigen, in weleher Weise B e gueli n vorgeht. Fflr
n l 6 und r 2 seien die sequenzlosen Ziehungen gegeben. Es sind
13, 14, 15, 16, 24, 25, 26, 35, 36, 46.
Urn die ftir n ==7 und r = 3 zu erhalten, behalten wir aus den soeben aufgestellten alle bei, die nicht mit 1 beginnen, also die sechs
letzten, erh~hen jede eingehende Nummer urn 1, s0 daB 35, 36, 37,
40), 47, 57 entsteht, und schreiben eine 1 vor jeden dieser Komplexe.
Das gibt alle die sequenzlosen Kombinationen fUr n == 7, r = 3, die
Mint efiner 1 beginnen:
135, 136, 137, 146, 147, 157.
Unter jede dieser, allgemein mit a~, b, c bezeichneten Kombinationen
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