Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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230 ~~~~~~Abschnitt XX1.

krementen oder Dekrementen jener beiden Gr6Ben, und ihn behandelt
er dann nacli den gew~linlichen Regein und Vorseliriften der Analysis.
Natiirlich ist dieses Verfahren niclit ailgemein bei jeder Aufgabe anwendbar. Bernoulli sagt darilberl):,,Man kann mit Nutzen die Infinaitesimairechnung verwenden, wenn nur die Aenderung, die eintreten
kann, als unendlich klein angesehen werden darf". Das tritt z. B.
emn, wenn aus einer Urne, die eine grol~e Anzahl von Kugeln enthilit,
einzelne gezogen werden;,,denn dann kann die Einheit als unendlich
kleines Element betraclitet werden; und man stiitzt sich auf die
gleiche Hypothese, deren sich die Mathematiker vor der Entdecku-ng
der Differential- und Integral-Rechnung bedienten". In der angefifihrten
Abliandlung bespricht Bernoulli als Beispiel emn Problem, das er ftir
andere Zwecke braueht. Er behandelt es znerst nach der alten und
daun nach der bequemeren neuen Methode. Es scheint uns geraten,
erst spiiter dieses etwas komplizierte Problem mitzuteilen, und die
Metbode lieber an einemn anderen, einfacheren darzulegen 2).
In einer Urne sind n weiBe, in einer anderen n schwarze Kugein.
Ans jeder wird eine Kugel gezogen und in die andere Urne gelegt;
die Ziehungen erfolgen gleichzeitig. Dieselbe Operation wird von
neuem und im ganzen r mal gemaclit. Wie groB ist hinterdrein die
walirseheinliche Auzahi x der weiBen Kugein in der ersten Urne?
Die Verwendung der gewbhnlichen Methode gibt x == n [i+ (n; )
FUr emn grol~es n kann man dies Resultat durch das bequemere
2 r
x~-n1 r -nersetzen. ilierauf fiihrt die neue Methode direkt. Es werden x und
r als stetig verhnderliche Gr6B1en betraclitet; dr, d. h. die Einheit, sei
das Jnkrement von r; es fragt sich, wie groB dx: dr ist. Die, mit
der Wahrscheinlichkeit x~ erfolgende Entnahme einer weil~en Kugel
aus der ersten Urne liefert das Dekrement (- 1) fUr dx; das mit der
Wahrscheinlichkeit "7 x erfolgende Hineinlegen einer weiBen Kugel
in die erste Urne liefert das Inkrement (+ 1) fiur dx; folglieh wird
dx n-x d dx _ dr
-=-i 1 +- 1..h.
dr n n ' 2 x- n n
Diese Differentialgleichung liefert dann bei richtiger Bestimmung der
Integrationskonstante wieder den Wert
') Novi Comment. Acad. Petrop. XII, 1766, 1767 (1768), p. 87-_98. 2) Ibid.
XIV, 1769 (1770), p. 2-25.