Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

224

Abschnitt XXI.

Regelung der Einsiitze mul3 billigerweise so gesehehen, daB 1. der
Fall, in dem weder Gewinn noch Verlust fdr einen Spieler eintrifft,
der wahrscheinlichste ist; daB3 2. die Wahirscheinliclikeit zu gewinnen
1
oder zu verlieren, fur beide Spieler = wird. Man k6nnte noch
fordern, daB 3. mit der Anzahi der Spiele die Walirseheinliclikeit
wiichst, daB der Gewinn- oder Yerlustbetrag eine gegebene Grbl~e
niclit ilberschreitet, oder daB 4. das VerhIaltnis dieses Betrages zum
h6chsten Gewinn oder Verlust emn beliebig kleines werde. Es zeigt
sich, daB dureli die Gleiehsetzung der mathematischen Erwartungen
beider Spieler die ersten beiden Bedingungen nebst der vierten erfUilt
werden, und nur dadurch; daB dagegen 3. ffberhaupt dureli keine A-ninalime erfililbar ist. - Die Wirkung dieser Gleichsetzung tritt aber
erst in der Folge vieler Spiele hervor. Ist die Wahrscheinlichkeit
klein,2 so muB die Anzahl stark vergr6Bert werden. Bestelit ftir A bei
kleinerem Gewinn gr6Bere Gewinnaussiclit, fMr B bei gr85Berem Gewiun
kleinere Aussichit, so wird bei Wiederholung des Spieles fair B mit
wachssender Gewinn~aussiclit der Gewinnbetrago sich vermindern und fair
A das Umgekehrte eintreten. Aus seimen Untersuchungen schlieBt
OCo ndo rce t, daB beim Petersburger Problem die Gleichsetzung der
mathematischen Erwartungen beider Spieler unstattbaft sei, weil ihre
Anwendbarkeit erst bei oO-maliger Wiederholung des Spieles eintrete.
- Urn den Untersehied eines eiuzelnen Falles vom Durchschnitte
einer Reihe von Fiillen zu illustrieren, maclit C on do r cet darauf aufmerksam, daB emn verst-indiger Mann es sehr wohl ablebinena kaun,
eine Summe b1 fUr die Wahirscheinlichikeit p1 eines Gewinnes von g1
zu geben, ablehnen kaun, weungleich b1 < p1g, ist; wdbrend er andererseits ffir eine Summe b2 die Wabrscheinlichkeit p2eines Gewinnes ga
erkauft, trotzdem. b2 > P292 ist; dazu wiirde ausreichen, daB p1 selir
klein und -p2 sehr groB ist. Eine kleine Wahrscheinlichkeit gleich
Null zu setzen, gelit nach Condorcet nicht an; es wllrde der gleiche
Fehler sein, als wolle mnan eine eutfer-ut beriflirende Tangente mit
einer Asymptote verwedhseln. - A~hnlidhe Darlegungen gibt Cond or cet in dem Werke, auf dessen Besprechung wir bald eingehen
werden, dem,,Essai sur l'application de I'Analyse 'a la probabilite6 des
decisions rendues 'a la pluralite6 des voix", Paris 1785; Discours preliminaires p. LXXII if. und im Werke selbst p. 138fif. In diesen kritischen Beleuchitungen beschiiftigt er sich besonders mit den oben
erwiihnten Anschauungren Buffons, die er zurtickweist. Was fuir die
wirklichen Werte der Wahrsdheinlidhkeiten falsdli ist, das kbiinenidlit dadurchi richtig werdena, daB man den wirklichen Werten falsehe
substituiere.