Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Wahrscheinlichkeits~rechnung.23

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dem Peter 1 geben, wenn dieser bei seinem ersten Wurfe mit einer
MNilze Kopf werfe, dagegen 2, 4, 8, 16,...-, wenn Kopf erst beim
2teny 3tenI 4tenl WteflWurfe erscheine. Peters Einsatz mflBte
1 + 2 A+ 4 Q 116
2 4+ 1
und so ohue Ende weiter, mfifte also oc sein. Das widerspricht dem
gesunden Verstande; wer wiirde, selbst nur eine miiBige Summe
als Einsatz bei diesem Spiele wagen? Zur Erkilirung dieses Dilemmas
wurden am anagegebenen Orte, zwei Versuche angefifihrt, der von C r am e r
und der von Daniel Bernoulli; hier stoBen wir auf einen dritten.
D 'Alemb ert schlieft, daB wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses sehr klein ist, sie gleich Null gesetzt werden muB; man dt'rfe
diese Wahrscheinlichkeit also niclit, wie die Theorie es vorsehrieb,
mit dern erhofifen Gewinne multiplizieren, um die mathematische Erwartung, d. li. die Hbhe des Einsatzes zu finden. UCbrigens war
d'Alembert niclit der Erste, der auf diese Idee kam; Nicolas I.
Bernou0111i hatte 1709 iihnliehes, aber vorsiclitiger ausgesprochen
(Vorlesungen 1112, S. 336, Aum. 3); und Buffon schlieft in
seinem,,Essai d'Arithme~tique morale" (Nr. VIII) aus der Betrachtung der menselilichen Handlungen im gew~hnlichen Leben, daB man
jede Walirseheinliclikeit, die nicht grbBer als 100 ist, gleich Null
setzen kaun und muB; ftir einen gesunden Mann von 56 Jaliren sei die
Wahrscheinlichkeit, binnen 24 Stunden zu sterben, gleich Y~;kein
Menseli aber rechne mit diesen Wabnscheinlichkeit; jeder setze sie
einfach = 0. Diese Anschauung wird von C ondorcet (Essai sur
l'application etc.; Pre'iminaire p. CVIII) einer kritischen Priifang
iinterzogen und widerlegt. B u ff o n teilte seine Auffassung von kleinen
Wahrscheinlichkeiten 1762 Daniel Bernoulli mit, der sie unter
vorsiclitigen Einschr~inkung als.,,moralische Walinseheinliclikeit" guthieB. D 'Ale mb ert ist sich selbst, fiber die Grenze, unterhalb deren
die Wahrscheinlichkeit gleich Null gesetzt werden soil, niclit im
kiaren.
Es mag hier gleich erw~ihnt werden, daB Condorce t, fiber
(lessen tragische Lebensschicksale wir sptier bericlitena werden, in der,,llistoire de 1'Acad. de Paris" 1781, P. 707 auf eiue Analyse der
niathematisehen Erwartung g1P1 + g2P2 + g3P3 i...' genau eingeht.
Zuerst macbt er darauf aufmerksamn, daB dieser Went nur als Mitteiwert
Geltung hat. Ist p1 - }- g1 == 1, s0 ist die mathematische Erwartung
2'~ trotzdem nur Gewinne 0 oder 1, aber nie - orkommen k6nnen. Die