Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

216

216 ~~~~~~Abscbnitt XXI.

kombinatori-schem, Wege durch den SchLuB von n auf (n -1- 1) und
einmal mit Hilfe der Differentialrechnuing1). RHo t he gibt der
lEschenbachsehen Formel den Ausdruck in Lokaizeichen
y+nd l(Y j(+ n J)
ql(n + 1)- ' a Y,(n +l)y a
wobei
_p - yl' axal + bxa+J + cxa-2J ~**
q =xy Aya +By ar +Cy a
zu setzen ist 2). In Worten heilft dies:-,das (n + l)", Glied der Reihe
fuir xy ist gleich dem Produkte des (n + 1)"O Koeffizienten der Potenz
y ynJ ~(y+ncY)
a der Reihe fUr Yfu in die Gr~i1e 7 - a
Dieses elegante Resultat verknulpft die Umkehrung der Reihen
mit dem Polynomialtheorem. Das mag wohl den mit keinem allzu
weiten Blick begabten Bin den burg zu der Meinung gefifihrt; habeu,,es sei,,der polynomische Lehrsatz das wichtigste Theorem der ganzen
Analysis".
Durch die E sch enb ach -R o t he sche Formel wurde fUr die Kombinatoriker die Untersuchung und die Benutzung der Lokaizeichen in
-den Mittelpunkt; des Interesses gerflckt. Ihnen wurde nun eiue gauze
Reihe von Arbeiten gewidmet. Roth e selbst versucht durch Aufstellung von Lokalformein ffir Produkte aus Poteuzen von Reihen
diese Lokaizeichen von den kombinatorischen Zeichen unabliingig zn
machen 3). Es gelang ihm, aus seiner Formel die bekanute, von La -
grange 1768 ohue Beweis gegebene fUr die Umkehrung von Funktionen herzuleiten, d. h. die, durch die eine wilikilrliche Funktion
(p (x) der durch x =- y + 4f(y) bestimmten Variablen x in eine nach
Poteuzen von z fortschreitende Reihe eutwickelt wird 4). Bier setzt
eiue Arbeit Pfaffs emn. Johann Friedrich Pfaff wurde 1765 zu
Stuttgart geboren; er zeigte schon als Z~igling der Karissehule seine
hervorragende Begabung fUr Mathematik; auf Veranlassung des Herzogs Karl studierte er in Goittingeu, giug 1787 als Astronom zu
Bode nach Berlin, von da bald darauf nach Wien und ward 1788,als Professor der Mathematik nach Belmstiidt berufen. Von der
westfiilischeu Regierung wurde er 1800 als Professor nach Balle a. S.
')Formulae de serierum reversione, demonstratio etc., Lips. 1793.
2)Oder (nacli Rothescher Bezeiclinung), wobei die beiden Skalen gelten
p (a, b, c,...) und q (A, B, 0,...).
')Archiv f. reine u. angew. Mathem. I (1794), p. 220-223, 228-232. 4) Ibid.
I (1794), p. 442.