Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Kombinatorik.

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Lokalsumme A zu iibersetzen. So beantwortet er denn die Frage
dureli das auszufiihreude Symbol ffir Kombinationen, in dem, N die
~te Klasse generell repriisentiert,
Von diesen Kombinationen kommt er durch llinzufiigung des Zeichens
fUr Polynomialkoeffizienten zu den Variationen, und die L~zsung der
Aufgabe wird durch y"I1 ~. u'Nz,' vermittelt. FUr die Koeffizienten
von qm gilt die Gleichung
qmxz(k + 1) rn9,% tkA + m5O3bkB + m(,5C kC +
in ihr ist das llauptresultat der Hinuden burgsehen Untersuchungen
enthalten. Sie gibt also emn mechanisehes, Verfaliren, urn den Koeflizienten von z' in (1 -1 aCZ + 13Z2 +..), ZU bestimmen.
Ist eine Suimme a +~ bx + cx2 + dX3 + vorgelegt, in die fUr
x zu substituieren ist 1 + CCZ + 13Z2 ~ rZ3 +.so ist nach der Bestimmung von Xl X, x3... die Substitution in den einzelnen Summanden
vorzunehmen. Das nennt llindenburg,,die Methode der Potenzen".
Auf sie ist er besonders stolz.
Die besprochene Verwendung der Kombinatorik bei Potenzerhebung zeigt uns, wie Hindenburg zu seinen Untersuchungen gefifihrt wurde 1).,,Bisher hatte man sich in der Kombinationslehre fastP
nur allein urn die Menge und Auzalil der Verbindungen und Versetzu-ngen gegebener Dinge gekiimmert 2), ihre wirkliche Darstellung
aber, die fuir die Analysis so wiehtig ist, fast ganz ffbergangen oder
nur jener Zablen wegen in Betrachtung gezogen. Hier war also noch
viel zu tun abrig; und es ist in der Tat unbegreiflfich, wie emn so
groBes, fruchtbares Land so lange hat unbebaut liegen bleiben
kdnnen."
Zur Untersucliung der Variationen fllhrte ilin das Problem der
Multiplikation von versehiedenen Reihen, wie ihn die von gleichen
Reihen auf das Studium der Kombinationen geleitet hatte. Ist etwa bei
p=ax +bX2 +C X3 _}_ —*, q==ccx +/X2 + yx3-F
r =ax + FX2 + CX3 ~
das Produkt pqr zu bildeu und nach Potenzen von x zu entwickein,
so gilt fUr den Koeffizienten von x~ der kombinatorische Ausdruck
')Leipz. Magazin f. reine u. angew. Math. (1786), Heft 3, p. 823. 2) Vgl.
jedoch diese Vorlesungen, Bd. 1112, S. 342 angeffilirte Tabelle des Franciscus
van Schooten.