Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Kombinatorik.20

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sei gedacht'), in der die Binomialform. oline Beriicksichtigung der
Konvergenzfrage aligemein bewiesen werden soil. S egner setzt
wo n eine ganz beliebige Grbl~e bedeutet, beweist komnbinatorisch die
Gleichung Sr Sm = S.+,, darauf direkt S, 1 Ij — e und dann der
Reihe nlach S" = (1 + e)n ffir gainze positive, ffur gebrochene positive,
fi~r negative und endlich als Grenzfall ffir irrationale Zahien. Von
e sagt Segner, er werde,,ir allgemeinen" kleiner als 1 angenommen.
Man erkennt leiclit die Ahillichkeit seiner Sehifisse, mit deneii des
ersten Eulersehen Beweises.
Wir kehren von dieser Einschaltung zn unserem eigentlicheu
Thema zurUck.
Die Aufgabe der Potenzierung des Infinitinorns 2) fordert die Bestimmung des aligemeinen Gliedes in der Entwicklung einer der
Formen
(a +b +Fc +d +.)m nud (I c+ CCZ + 7OZ+y3 +..)n,
deren zweite nach Potenzen von z geordnet zu denken ist. lJber
die Behandlung dieser Probleme durch A. de Moivrc, Leibniz,
Jak. Bernoulli wurde friflher bereits berichtet. Die erste darauf
bezagliche Untersuchung Hun denburgs bezielit sich auf die erste
dieser Formen, die zweite Untersuchung auf die letzte, und die dritte
Veruiffentlichuing ist im. wesentlichen nur emn Abdruck der beiden
ersten nebst einigen Erweiterungen und einer voranfgeschickten, selir
ansfifibrijehen Geschichte des Problems3). Wir gehe-n etwas nilher auf
die Besprechung dieser drei Arbeiten emn.
Dureli die Benutzung der Permutationen oder der Kombinationen
hatte man den Ausdruck ffur die Polynomialkoeffizienten in
(a +b +c +...)'mi
fMr jedes Aggregat aabtcy... oline weiteres aufsehreiben k~innen.
Aber diese Methode hatte den nicht zu nnterschatzenden Nachteil im
Gefolge, daB die Giultigkeit der Formel sich auif ga-nze positive ExPonenten beschriinkte. Urn diesemn Managel abznhelfen, hatte eben
')Nouv. W4m. de Berlin 1777, p. 37. 2) Dieser Ausdruck stammt nach
P fa f f,,,Bemerkungen iiber eine besondere Art von Gleichungen" (Der polynomische
Lehrsatz, p. 150 Anm.) von Ernst Gottfriedi Fischer. ') T. Infinitinomii
dignitatum indeterminarum leges ac formulae. Gotting. 1778. IL. Methodus
nova et facilis serierum infinitarum exhibendi dignitates exponentis indeteriminati.
Gotting. 1778. III. Infinitinomii dignitatum' exponentis indeterminati historia,
leges ac formulae, editio pluribus locis aucta et passim emendata. (Gotting. 1779.