Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXI.

gauze positive Exponenten n koimbinatorisch sofort beweisbare Gieichung
(1 +X)~ 1 +++xI~~ n (n-1)x n(n1l)(n-2) 3+
noch nicht die Giiltigkeit ffir beliebige Exponenten n verbiirgt. Nun
setzt Euler
dann gilt also fair positive ganze n die Gleichung [n] = (1 + x)".
Komabinatorisch wird nun gezeigt, daB [n] [in] =- [n + m]' sei, und
daraus ergibt sich [an] = [n]t far alle beliebigen Werte von n und
alle ganzen positiven Werte a. Ist nun [i- vorgelegut, wo p und q ganz
und positiv sind, so findet man [q = =7= [p] =(1 + x)P und also
=(1 + x). q-khulich wird der Beweis fair negative Exponenten
geliefert.
In der zweiten, auf den binomischen Satz beza~glichen Arbeit, die
dreizehn Jalire spiiter ersehienen ist'), setzt Euler voraus, daB bei
beliebigem Exponenten n Entwicklungen der Form
(1 + x)n=1 + Ax +Bx2 + Cx3+.,
(1 +X)n +I1 -f-A'x-+f-Bx2 +O'x3 +'
m~glich seien, und daB fair n == 0 alle Koeffizienten A, B, C,.. verseliwinden. Dann leitet er die Rekursionsformeln
A'- A = 1 ff - B=Ay Ci-C= B,...,I N'-N-A== Ml>
ab. Setzt man N = an, also N' = a (n + 1), so wird il =- a. Umigekehrt folgt aus M =- a durch Integration der Funktionalgleichung
N =an + c, wo c eine Konstante ist; da far n = 0, N=~ 0 sein muB,
so ist N ==an die far diesen Fall allgemeine LUsung. Ebenso: ist
N =ccn (n -1), also N'=a cn (n +1) n, so ist ]II=2 an, und umgekelirt folgt aus AM a- cn allgemein N cc- n (n -1) usf. Auf
diese Weise wird das Gesetz der Koeffizienten festgelegt; da der Anfanguskoeffizient == 1 ist, so folgt die Newtonsche Form.
Auch einer hierher geh~irigen Arbeit von Job. Andr. v. Segner
gleich sind, im tibrigen iet die Lex klar) den Logaritlimum comnmunem ipsius flm
exprimere, dann ist m == 1, so ist die gsantze Series ==0, ist m == 10, s0 komnmt I,
jet m == 100, komnmt 2, und so fortan. Als ich nun daraus den Log. 9 finden
wollte, bekam ich eine Zahl, weiche weit zu -klein war, ohngeacht diese Series~
selir stark convergirte."1
1) Nov. Act. Petrop. V, 1887, p. 52.