Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Kombinatorik.

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wo, er 1802 starb, beweist den binomischen Satz auf Grund folgender
Beziehungenl):JIst
(I+xI=-a x+ nX n3+CX
so bat man, wie gezeigt wird, fdr die Koeffizienten die Relationen
en b..6 I d bn bn- ibn- 2 e n-bn bf 2 bn-3
und daraus folgen die Werte der Binomialkoeffizienten nach Bestimmung von bn, wo fUr b,+ =b, + b, = —(r +s) b = (r +s)gilt.
Jan ilendrik van Swinden, 1746 imn Haag geboren, zuerst Professor der Physik, dann zu Amsterdam auch Professor der Mathematik, nalim 1798 an der Beratung fiber die Einfifihrunag des metrischen
Maf3- und Gewichtssystems teil; starb 1823 zu Amsterdam. Er benutzt
zum Beweise der binomischen Formel die 1{elationen 2)
a,-,= a., bni == bn - an c-1 = c.-bn + an
Auch E ule r beschiiftigte sich mebrfach mit der Frage nach dem
Gflltigkeitsbereiche der Newtonschen Binomialformel. Zun~clist im
Jahre 17741).
Hier gelit er von der interessanten Bemerkung aus, dal3 eine
Gleicliung, in der emn Parameter n vorkommt, wohi ftir alle positiven
Werte von n richtig, fMr die ftbrigen aber faisch sein k~5nne, so daB
also die Richtigkeit der binomischen Formel fair ganzzahlige positive
Exponenten noch keine weiteren Selhifsse auf ausgedehtitere GUIltigkeit
erlaubt. Als Beispiel gibt er die GleichUrig
n ____ + 2ia)( +
die er fair ganzzahlige positive n beweist, aber for andere Werte von
V als unricitig erkennt4). Aus diesem Beispiele erhellt, daB die ffir
1) Nov. Comment. Petrop. 1760, 1761, VIII, p. 169-180. 2) Verhandi. Maatseh.
llaarlein 1770, XII, p. 334-358. -') Nov. Comment. Petrop. 1774, XIX, p. 103-11 1.
4) Iliermit im Zusammenhange stelit folgende Stelle eines Briefes von Euler an
Daniel Bernoulli vom 16. Februar 1734 aus Petersburg datiert (Bibliotheca,
miatliematica, dritte Folge, VII, p. 136; 1906):,,lch vermeinte neulich, da8 naclifolgende Series
-__(int- 1) (m -10) +M m-1) (m- 10) (ni- 100)
9 990 +999000
(m -1)(rn- 10)(M -100)(m-1000) + etc.
9999000000
(alwo() die Auzahi der Nullen im Numeratore unci Denominatore einander
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