Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Zahlentheorie.19

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-von der Form 4 n - 1; es kann nun 109 genau. auf zwei Arteri,
102 + 32 ~ 02,y 82 ~ 62 + 3 2, in die Sumnme dreier Quadrate zerlegt
werden. Einige Siitze iiber Primzahlen, weiche Lagrange in den
Berliner Memorien der Jahre 1773 und 1775 bewiesen hatte, werden
Ton L e gend re auf neue Art abgeleitet.
L. Euler beliandelt in einem, Memoir') den frilher von ihm uind
Lagrange untersucbten Gegenstand u-ber iihnliche Funktionen und
Minimialwerte. Wenn N == a2 nb- r~2, soil erstens N2,~ N3,... durcli
die gleiche Form x2 + n y2 dargesteilt werden, und zweitens sollen
die Minimaiwerte von x oder von y gefunden werden.
Eine andere Abhandlung2 ) L. Eulers gibt die FUile an, in
weichen die Formel X4 +~ kX2 y2 ~ y4 emn Quadrat ist, uind tabuliert
dlie ganzzahligen Werte von k zwischen -100 und + 100, uind die
dazu geho-rigen VerhRIltniswerte von,x welche Quadrate lieferii.
x 2
Man hat z. B. k 16, 1 u rnd 12. Es. ergibt sich, daB k nicht
y~~~1
I1,3, 4, 5, 6, 9,...sein kami.
Die Zahi 1000009, welehe L. Euler in seiner De tabula
numerorum priniorum des Jahres 1774 unter die Primzahlen setzte,
wird von ihm 1778 in eiiiem separaten AufsatZ83) untersuelit uud als
eine zusammengesetzte Zahl mi't dem kleinsten Divisor 293 erkannt.
Euler findet 1000009 -x = 2352, wo x = - 972 ist, sowie
1 000009 = 10002 + 3 2 -= 9722 + 235 2. Daraus wird 10002 - 2352
=9722- 3 2 1235.765 = 969.975 und 1235 969 19 Es ist
2 9~~~~~~~75 6765 1
also 192 + 152 == 293 emn Divisor von 1000009.
In der 1777 verfaften Selirift De novo genere quaestionuni
arithmeticarum, pro quibus solvendis certa methodus adhue desideratur') untersucht L. Euler das Problem, alle gauzen
Zahien N zu findena, so daB A2 + B' rind Al + NB2 zu gleicher Zeit
Quadratzahlen vorstelleni. Er setzt
A==X2-y2, B-=2xy, A2+ NB2 I
-und erhiilt N ( IZ2 - (X2 _y 2)2) } 4 X2y2, wo also z so zu wiihlen ist,
daB N ganzzahlig wird. Man inebme z == X2 + 2a X2y2 + y2 oder
Z =X2 + 2 aX2y2 - y2, woraus
N (aX2 +1)(y2 +1) oder -(a X2 1(CCy2+ 1)+1
1)N. Acta Petr. IX, 1791, p. 8-18 == Comm. Arith. II, p. 174-182.
~)Ebenda, X, 1792, p. 27-40 == Comm. Arith. II, p. 183-189. 8) Ebenda,
P. 63-73 =Comim. Arith. II, p. 243-248. 4) Ebenda, XI, ad annum 1793,
P. 78-93 Comm. Arith. II, P. 190-197.
CAN~TOR, Geschiehte der Niathematik I-V. 13