Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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192 ~~~~~~Abschnitt XX.

b- I
a2 — 1 sein. Da dies aber unmo-glich ist, zieht Legendre aus
a-, b- I
der Annahme b 2 ==1 die Folgerung a 2 1, mid aus der Annalime
b-i a-i
a 2 I die Folgeruing b 2 -~ Soweit ist der Beweis voll
B-i
st'aindig; auch zieht Legendre den strengen Schllnl, daB b 2 1,
b-1
B 2 -= 1 nicht gleiehzeitig bestehen k~nnen. Was den librigen Teil
des Beweises anbela-ngt, sagt Legen dre selbst:,,Dans cette demonstration, lnous avons suppose' seulement qu'il y avoit un nombre premier
b de la forme 4n - 1, qui pouvoit diviser la formule x2 -1 Ay2i'1
Ga uB hat den L eg en dre schen Beweis einer eingehenden Kritik unterworfeni) und hat bervorgehoben2), daB zur Vervollstiindigung desselben es erwiesen werden solite, daB zu einer jeden Primzahl von
der Form 4n + 1 eine Primzahl von der Form 4n + 3 gefunden
werden kann, in Beziehuing auf welehe jene quadratischer Niehtrest
ist. Dieses Postulat tag von dent Satze abhiingig gemacht werden,
daB jede arithmetische Reihe, in weleher nlicht alle Glieder einen gemei~nschaftliche-n Faktor haben, notwen dig Primzahlen enthalten tuB.
IDirichlet hat spiiter diesen Satz bewiesen3s).
Legend re hat die Wiehtigkeit des Reziprozitiitsgesetzes vbillig
erka-nnt und mehrere Satze diber Primzahlen daraus abgeleitet. Mit
demselben k~nne man alle S~ize, die Eunier dnrch Jnduktion auf
S. 176, 281, 295 nsw. des ersten Bandes der Opuscula analytica
aufgestellt babe, beweisen; man k~iine zeigen, daB, wenn fX2 + gy2
hZ2 l8sbar ist, fX2 + gy2 -= (h -I- fgn) Z2 es auci ist, solange
(h + fgn) prim bleibt. Letzterer Satz enthiilt als Spezialsatz eineii
jihulichen, von Euler durehl Iduktion entdeckten Satz. Legendre
berechnet vier Tafein, welche die verschiedenen Formen, die Teiler
von 12 ~ au2 annehmen k6nnen, enthalten, worin die Primzahl a, beziehungsweise die Form 8n - 3, 8n ~ 1, 8n + 3, 8n - 1 hat. Diese
Tafein dienten nieiht nur urn viele schon bewiesene Siitze deutlicher
hervortreten zn lassen, sondern auch um neue Siitze zu enthuIlen.
Legen dre neunit z. B. den von ilim durch Induktion erbaltenen Satz,
daB, wenm a = 8 n - 3, es ebenso viele Teiler von der Form 4n - 1
als von der 4n + 1 gibt, u-nd daB diese Anzahl der Anzahi verschie-~
dener Zerlegungen von a in die Summe dreier Quadrate gleich ist.
Z. B., weun a = — 109, so hat t2 + aU2 zwei Teiler von der Fort
4n + 1, niimlich y2 + 109Z2,~ 5 y2 + 2yz + 22 _, und zwei ahfnliche
') Disq. Arith., Artikel 151, '296, 297 und Additamenta. 2) AddlitarnentO,
')Kummner in Math. Abli. d. K. Akad. d. Wiss. zu Berlin, 1859, S. 19, 20.