Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Zahlentheorie.11

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gesetz, welehes zwei Jahre frillier in E ul1e rs Sechriften schon gedruckt war. L eg en d re ist der zweite Entdecker dieses Satzes. Obschon er damals Seliriften E ulers fiber Zablentheorie durelimustert
und einige Teile von Eulers Opuscula analytica (Bd. I) gelesen hatte, war jim die Arbeit des Seliweizers fiber das Reziprozit~itsgesetz nicht bekannt. Spiiter maclite GauiB eine Thnliche Erfalirung.
Von ibm wurde der Satz zum drittenmal entdeckt, bevor er von
Legendre s Untersuciungen Kenntnis hatte. Eulers Aufstellung
des Satzes haben GauB und Legendre nie gekanni. Erst Kronecker
hat die Mathernatiker auf diese Leistung aufmerksam gemacht').
In Le ge n dr es Untersuchung ist das Reziprozitiitsgesetz auch
bewiesen, aber der Beweis ist unvollstiindig. In dem Ausdrucke
d 2 soil nach L eg end re angenommen werden, daB alle Vielfachen
der Primzahl c verworfen sind; dann hat man entweder d 2 == 1 oder
d 1, ~wo d irgend eine ganze Zahl, nur kein Vielfaches von c,
sein darf. Nach Legendre seien A, a Primzahlen von der Form
4 n + 1, und B, b Primzahlen von der Form 4 n + 3; dann steilt er 2)
aclit Theoreme auf, die zusammen das grol~e Gesetz ausmachen. Die
Ausdrucksweise derselben ist aus den zwei ersten ersichtlich, niimlich
I. Weu~n b 2 =1, dann folgt a2 - 1.
IL. Wenn a 2 =- 1, dann folgt b 2 1.
L egendre Mat nun alle aclit Miille in folgendem Ausspruch zu.sammen:,,c et d 6'tant deux nombres premiers, les expressions
d-i c-i
C2 d2 ne seront de diffe'rens signes que lorsque c et d
sseront tous deux de la forme 4n - 1; dans tous les autres
oas, ces expressions auront toujours, le me~me signe."
In seinem sinnreichen Beweise geht Legendre von der Gleichung
AX2 + a y2 -- bZ2 aus. Dieselbe kann nicht durih gauze Zahien geliist
werden, da die linke Seite von der Form 4 n + 1 oder 4 n -F 2 und
die recite Seite von der Form 4 n oder 4 n- 1 ist. Nach einer
Mlethode von Lagrange soilte diese Gleichung aber stets liisbar sein,
A-i A-i a-i a-i
weun gleichzeitig die drei Bedingungen a 2 b 2 1, IA 2 b 2= 1,
i b- I a- I
A 2a - -1 erfflhlt wiRyen. Wenn A == 1 ist, so soilte b 2 1,
1)Monatab. d. K. Akad. d. Wiss. zu Berlin7 1875, S. 267-275. 2) Loc.
cit., S. 516, 517.