Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Zahlentheorie.

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zu finderi, hatte seinen Ausgang in einer zweiten Abbandlung, Ds -
quisitiones ulteriores de indole fractionum. continuarum')
wormn Berno ulli die Auffindung eines independenten Gesetzes fuir
die Bildung eiues beliebigen Niiherungswertes im. Auge hat, aber im
Falle willkllrlieher,Indices" a b in dem. ailgemeinen Kettena
bruich cc+ b nicht weiter komint, als aus zwei nacheinander folM P
genden NMherungsbriichen N' und dem. niichsten Index den
hierauf folgenden Naberungswert Po-~ + fZn ziehen, ein Verfahren,
weiches er als ein vorziigliches Kompendium. charakterisiert. Ohne
sich des Eul erschen Algorithmus zu bedienen, vervollkommnet und
vereinfachit Bernoulih die bisher angewandten iDarstellungsmethoden
der iNiherungswerte. Er geht von einem. ailgemeineren Ketteubruch
aus, als es bei Euler der Fall war.
In einer Selirift, Arithmetische Betrachtung02), behandelt
-Johann Tessanek die Gleichung dn2 + 1 == e2, ohne aber die Arbeiten Lagranges anzufiihren.
Tessanek bestimmt den Wert von n bei gewissen Zahien d
versehiedener Formen, und zeigt, wie unendlich viele Formen gefunden
und bei diesen die Werte fair n allgemein bestimmit werden k6ninen.
Er schreibt d -= a' + b und findet e > an, also e an ~ P,.; auch
fludet er n > p,, also n j p1 + A - Dann betrachtet er den Fall
b >a, PI > P2, PI <2P2, und s etzt -P1 =P2A+ PS P2 = P3 +P4'
p2 < 2p3, etc. Fr pi findet er einen ailgemeinen Ausdruck
(pi+h + I /ha2+ b)p~+ I -jgi)g
woh =b - a, go == b, g, == 2a - b + 1, und
Nimnit man nun g= 1 und pi,= 0, daun wird pi =- 1 und man
kann Pi, - 1 i-2 n ausrechnen. Z. B. nimmit m an i == 3, dann
hat man
P8 1, l P4 = 0, P2 = 1, p, 2, 2a 3, gs == 12a - 9b + 4 == 1,
fT=3 c - 1, b 4 4c - 1, wo c irgend eine positive ganze Zahl ist.
Endlich folgt {(3c - 1) 2 + 4 c - 1 3 2 + 1 == (9c C- 1)2. Die Auf1)N. Comm. Per., Tom. XX, pro anno 1775, Petropoli 1786, p. '24-47;
'vg1. S. Gfinther, op. cit., P. 8-10. 2) Abh. d. BMhmischen Gesellsch. der
Wi~ss auf das Jahr 1786, p. 160-171.