Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XX.

~ 1, + 2, ~ 3, 'a quadratische Reste oder Niclitreste von ungeraden
Primzahlen sind, aufgestellt 1).
Euler untersuclite in zwei Abliandlungen, die walirsebeinlich
beide 1772 verfaBt wurden 2), die Reste, weiche entstehen, wenn
Quadrate und b6here Potenzen mit Primzahlen dividiert werden. In
der ersten dieser zwei Selhriften drtickt er das Gesetz in vollendeter
Form, aber ohine Beweis aus. Diese berilhmte Abbiandlung filirt den
Titel Observationes circa divisionem quadratorurn per
numeros prirnos.
Krone cker maclit die interessante Mitteilung3), daB Euler beinalie 40 Jalire frillier, in einer Abliandlung aus den Jaliren 1744 his
1746, als Resultat von Beobacltungen eine Reihe von Lehrsatzen undt
Beobaclitungen gibt, weiche im wesentlichen das Reziprozitiitsgesetz
enthalten 4). Natftirlich diirfen, diese Aussprilche nichit als eine Entdeckung des Gesetzes angesehen werden.
Die entwickelte und ailgemeine Auffassung des Reziprozitiitsgesetzes wird von E ul er in der Schrift des Jahres 1783 zuerst in
-vier Theoremen aufgestellt, daun in der neuen Form eines einzigen
Lehrsatzes ausgesprochen. Die vier Theoreme beziehen sich auf die
IDivision der Quadratzahlen durech Primzahlen und lauten wie folgt l):
Si divisor primus fuerit, formiae 4ns + (2w + 1)2, existente
s numero primo, tuim in residuis occurrent numeri -+ s
et - S.
Si divisor prirnus fuerit formae 4ns - (2w + 1)2, existente
$ numero primo, turn in residuis occurret numerus + s; at
- s erit in non-residuis.
Si divisor primus fuerit, formae 4ns-4z —1, exciudendo
omnes valores in forma 4ns - (2w 4- 1)1 contentos, exist ente,.s numero primo, turn in residuis occurret, - s, at + s erit
n on-residuum.
Si divisor primus fuerit, forma 4ns +I 4z -f-i, exciudendo,omnes valores in, forma 4ns + (2x + 1)2 contentos, existente
$ numero primo, turn tam + s quam - s in non -residui-s
occurret.
Euler lia~t nun die Bernerkung folgen, daB3 er diese Lehrsaitze
) Osw alId B a u mga rt, Ueber das Quadratische Reciprocitiltsgesetz, Leipzig
1885, S.13. 2) Opuscula analytica I, p. 64-84 == Comm. Arith. I, p. 477-486;
ebenda. p. 122-156 == Comm. Arith. I, p. 487-506. 3) Monatsb. d. K. Akad,
d. Wiss. zu Berlin, 1876, S. 268. 4) Comm. Petr. XIV, 1744, p. 151 == Comm.
Arith. I, p. 85-49. Das Reziprozitiltsgesetz hiltte nach Kronecker namentlich
aus Theorema 27 und den Annotationes 3, 4, 7, 13, 14 uind 16 gesehlosseii
-werden k~nnen. -5) Comm. Arith. I, p. 484, 486.