Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Zahlentheorie. 1f

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Lagrange demionstrietten Satzes 'von John Wilson'). Euler
erzielt dieses durch die von ibm entdeckten primitiven Wurzeln. Ist,
g eine primitive Wurzel der Primizahl p, so enthiiit die Periode von g
alle Zahlen 1, 2, 3,.p - 1). Es geh6rt nun g zn der geraden Zahi
p - 1, weshaib
dureli p teilbar ist.
Emn auderer AufsatZ 2 ) L. Eul1e rs enthiilt Beobachtungen. fiber
den Ferm atsehen Polygonalzahlsatz, weiche auf der Entwicklung der
Potenzen der Reihe 1 + Xa+x X( -1-..., wo a, (3,... Polygonalzahlen
siud, beruhien. Eine zu gleicher Zeit ver~iffentlichte kleiue Schrift3)
Eulers lebrt die kleinsten Werte von a, (3, y zu finden, die aniniihernd
(ler unbestimmnteii Gleichung ersten. Grades caA + (3B p y C gentigen,
wo A, B, C gegebene Zahleii sind, die im allgemeinen auch irrational
sein diirfen.
In der Abbandlung Speculationes super formula integrali
Vfj(aa - x x ubi simul egregiae observationes circa
fractiones continuas occurrun t4) leitet Euler durch Integralrechinung die Werte versehiedener Kettenbriicbe ab. Er erh~lt z. B.
a b+aac
A 3b -4 aa c
S b - 9 aa c
wo, fu }/y- ~ Aflr=-(aa-2bx+cxx),,ein Ausdruck
weleher", wie er sagt,, deshalb denkwiirdiger ist, weil bisher kein Weg
offen stand, den Wert dieses Kettenbruchs a priori zai fin den". Es
werden log i, log J log it + in Kettenbrilehe entwickelt, sowie
arctan a t
b
Wir verdanken Euler die Eiitdeckuug eines fundamentalen Lehrsatzes der Zahlentheorie, des sogenaanuten Reziprozitiitsgesetzes. Ungef ar 140 Jabre frflher hatten die binomischen Kongvruenzen zweiten
Grades die Aufmerksamikeit des groBen Mathematikers Ferm at erregt.
Ohue IBeweise anzugeben, hatte er die Bedingungen, tiuter welehen
W)Vg Eulers Brief an Lagrange vom 24. Sept. (5. Okt.) 1773 in Lagrange, Oeuvres XIV, p. 235, und Opera posthuma (Euler) I, p. 583.
~)OPuscula analytica II, p. 3 = Comm. Arith. II, p. 92-98. 3) Eibenda, II, p. 91
Comm. Arith. II, p. 99-104. 4) Acta acad. scient. imp. Petr. pro anno,
178~2, pars posterior, Petropoli 1786, p. 62-847'