Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

182

Abschnitt XX.

182 _AbsIehn( _X) t.= It_ X _X. I+X 1 1 t.
wo die Exponenten von x in der Reihe Pentagonaizahien von der Form
3 t:~d. hi. die Zahien 0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22 etc. sind, und wo
2
XI =1 (n = 1 2, 3, 4 oder 5) ist, schwankende und divergente Reihen
abgeleitet. Die Summe solcher Reihen wird nach der damals noch
tiblichen formalen Bebandlungsweise ermittelt. Euler schreibt
1- +lt- 1+lIetc.= -- und -12-2 +2 7 _-12 - etc. = 0.
Vom Standpunkte der a-nalytischen Zahientheorie betraclitet, enthiailt
diese Selirift Ergebuisse, die Euler schon friiher ver~iffentliclit
hatte")
Die Anzahi Zahien, weiche kleiner als N und zugleich mit N
teilerfremd sind, wird von L. Euler in einer Schrift des JahreS 2)
1780 durch die Formel zltN N (p -i) (q - 1) (r - 1)augdckw
pq r aseriw
N -= p' q~ ry. Dies ist eine verailgemeinaerte Form der Formeln,
weiche Euler 1760/61 in der Abhandlung Theoremata aritlimetica
nova methodo demonstrata bekannt maclite.
In dem Aufsatze De inductione ad plenam certitudinem
evehenda-8) zeigt L. Euler, daB jede Zalil sich als in vier Quadratzahlen und in drei Dreieckszahlen zerlegbar erweist, sobald man annimmlt, daB jede Zahl 4n + 2 in zwei Primzahlen der Form 4 n + 1
zerlegbar sei. Letzterer Satz wird durch Induktion untersuclit und
als Erfahrungssatz aufgestellt.
Im Jahre 1781 wurden Ausziige aus Briefen Eulers an Condo r cet vero-ffentlicht4), wormn unter anderem bewiesen wird, daB die
Summe der Quadrate der Koeffizienten in der Binomialentwicklung
von (1 -1 x~ dem Ausdrucke gleich ist
2 6 10 14 4n- 2
1 2 34
Die vollstiindige Abliandlung Euler s ersehien in St. Petersburg unter
dem Titel De mirabilibus proprietatibus unciarum, quae I'l
evolutione binomii ad potestatem quameunque evecti oc1
c urrunt5). Diese Werte werden vom Integral 2-.2 22nfjXI?t ab0
1) Intr. in analys. Pt. IV, Chap. 16; N. Comm. Petr. 1750/51, p. 155; ebenda,
1754/65, V, p. 59-94; Correep. math. (FuB) HI, p. 467. 2) Acta Petr. IF, II,
1780, p. 18-30 =- Comm. Arith. II, p. 12 7-133. ')Ebenda, p. 38-48 =Comm.
Arith. II, p. 134-189. 4)Histoire de I'acadme' royle des sciences,ane178
Paris 1781, p. 606. 5)Acta Petrop. pro anno 1781 pars prior. Petropoli 1784,
p.* 74-111.