Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Zahlentheorie.11

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zeigte, daB man aus, der VorauLssetzung, daB ganzzahlige Werte von
x, y, 2 existieren, immer nacliweisen kaimi, daB es noch kleiner'e ganzzahlige Werte von x, y, 2 gibt, die der Bedingung X,_ 4- - 22 genflgen. Durch Wiederbolung dieser Operation komimt man auf klinej
Werte von x, y, z herab, die der Gleichungr genulgen soilten. Da in
Wirklichkeit es keine solehe kleinen Werte gibt, ist die Annahme
der Lo-sbarkeit falseh. Lagranuges Modifikation dieses Kunstgriffes
ist wie folgt: Aus der Voraussetzung, daB es ganzzahlige Werte von
x unDd y gibt (x > 1, y > 1), die der Bedingung, 2X4 - 4 71geniigen, soil gezeigt werden, daB es noch klienere Werte von x und
y gibt, die dieser Bedingung gendigen. Es soil zu gleicher Zeit eine
ailgemeine Methode entwickelt werden, urn letztereWerte aus den ersteren
abzuieiten. Wenn man nun ftur x und y ilire Minimum-Werte angibt,
n~imlich x ==1, y =- I, kaun man dureli Wiederaufsteigen alle h~iheren
Werte in der Reihenfolge ilirer GruiBe berechnen. Dieses Programm
wird mit groBer Geschickliclikeit erfoigreich durchgefiihrt. Erstens
wird bewiesen, daB die Aufl~sung von 2 x4 _ y = 22 sich auf die
Aufl~sung von s 4 + 8 t4 -= j2 dureli kleinere Zahien reduziert, und dafB
eine L~isung letzterer Gleichung stets durch die Relationen
m: n =- (u2 - 3st):(S2 - 8t)
rn und n teiierfremd, x = ms -I- nt, y ==ms - nt eine Lo"sung1 der ersteren
einbringt. Zweitens wird die Aufilisung von S4 + 8 t4 j i2 auf die L~isung
von der Gleichung 2q1 - =r s oder der Gleichung q4 - 2r4
reduziert, so daB von den Werten q, r, s, weiche der einen oder der
andleren dieser Gleichungen genilgen, durch die llulfsgleichung t =qr
Lo3sungren von s 4~ 8t4 - U2 abgeleitet werden k~innen. Drittens wird
die Aufluisung von q4 2r 4 -= S2 von der Ldsung der Gleichung
-2 n" t + 8_p4 abhdungig gemaclit, wo r 2_pn, s == n- 8 p4, und die
ganzen Zahien n, p kleiner sind als q, r. Die Gleichung n 4 + 8p4 = q2
bat aber die gleiche Form wie s4 + 8 t-4 t2; foiglich ist das Problem
ge1list. IDiese Untersuchung ergibt also nicht nur die L~isung von
2x 4 _ -4 ELo, soudern auch VonX - 2 y4 EL und x4 + 8 y4 = EL.
Es wird nun gezeigt, wie die Aufl6sung aller Gleichungen von
der Form X4 + a y4 -= 22, wo a irgend eine gegebene Zahl ist, dureli
die LUsung einer gleichfdrmigen Gleichung mit kleineren Zahlenwerten erzielt werden kann; es wird aber betont, daB die hier erkliirte Methode nicht notwendig alle mdglichen Ldsungen liefert.
In der Enlersehen Abliandlung De mirabilibus proprietatibus nurnerorum pentagonalium') werden aus dem. Ausdrucke

') Acta Per 1780, I, p. 56-75 ===Comm. Arith. II, p. 10LS-115.