Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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-LAADschnitt XX.

X = 4an + txb'+- 4a'y,
wo also b = + ixb' + 4d'y. Lagrange berechnet nun zwei Tafein,
die fair jeden Wert von a (< 31) und von p die passenden Werte von
b fMr Teiler von t2 + au,2 angeben, und zwei andere Tafein.,
weiche die Werte von b fur Nichtteiler liefern. Urn z. B. Teiler von
10001 zu finden, beachte man, daB 10001 = (100)2 + 1, daB also
a 1, woftir die Tafein b 1= angeben, weshalb jeder Teiler die
Form 4n 1- 1 hat. Es ist aber auch 10001 =- (101)2 - 2 (10)2. FUr
a == 2 liefern die Tafein b == 1, - 1, weshaib die Teiler eine der zwei
Formen 8n + 1 und 8n - 1 haben mflssen. Von den Primzahlen
tinter 100 genflgen nur 17, 41, 73, 89, 97 diesen zwei Bedingungen.
Durch Division ermittelt man, daB 73 emn Teiler ist. Die Abliandlung endet mit einer Untersuehung fiber Primzahlen von der Form
4na + b, weiche zu gleicher Zeit die Form u12 + at2 annelimen. Zu
(liesem Zwecke brauchit er sieben Lemma, weiche, in Verbindung
mit seimen Tafein, ibm 36 Lelirs~itze ilber Primzablen von der Form
4n - 1 und 13 Lehrs'aitze fiber Primzahlen von der Form 4n ~ 1
einbringen. Man findet hier den Nacliweis von sechs Fe r matschen
Satzen. Der erste von diesen sagt, daB alle Primzahlen von der
Form 4n -f 1 auch die Form y2 F 02 annehmen. Vier aindere Ferin atsche Satze betreffen bzw. die Formienpaare
6n + 1, l/ 24- 3Z 2; 8n -F 1, y2 + 2Z2; 8n +~ 3, y2 +I 2 2;
8n -F 1, y 2- 2 t2.
Ffir die zwei ersten Fermatschen Siitze hatte Euler scion frillier
Beweise verdifentlicht. Vier andere S'atze hatte Euler frillier durch
Induktion entdeckt'1). Sie betreffen bzw. die Formen 20 n -F 1,
20n +9 und y2-F 5Z2; 24n-F 1, 24n +-7 und y2 + 6Z2; 24n +F5,
24n +I1 und 2y 2 F3Z2; 28n-F 1, 28n-F 9, 28n F 11, 28n4- 15,
28~ -F 23, 28 n -F 25 und y2 -F 702* Lagrange bemerkt, daB es urn
nicht gelungen sei, den Fermat schen Satz, daB das Doppelte einer
Primzahl 8 n - 1 die Summe eines Quadrates und das Doppelte eines
Quadrates sei, nacizuweisen. Audi kiindigt er den von jim durch
Induktion entdeckten, aber noch unbewiesenen Satz an, daB alle Primzahien von der Form 4n - 1 die Summe einer Primzahl von der
Form 4 n -F 1 und das Doppelte einer Primzahl dieser Form sind.
Eine Methode, die vollkommenen Theiler einer gegebenen
Zail zu finden 2) von Johann Tessanek (1728-1788), Lehirer
1)N. me'moires Petr. VI, p. 221, V11I, p. 127. ')Abb. einer Privatgesellech. in BMmen, 1. Bd., Prag, 1775, S. 1-64.