Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Zahlentheorie.17

177

fabren von Lagrange ganz Thnlich. Er st5Bt aber auf die Unbequiemliehkeit, daB dann und wann sich scheinbar mehr Teilungsformeln
herausstellen, als wirklich existieren, daB also gewisse unter denselben
einander iiquivalent sind. Z. B., wenn a - [2, s0 findet man die
Teiler 12 Z2 - y2 und 3 y2 - 4z2 Letzterer reduziert sich auf den
ersteren dureli die Substitution y = 4y' + Z', 2 = 3y' + z'. Diese
Erscheinung veranlaft ihn zu einer Untersuchung, und diese
fillirt zur Entdeckung einer Regel, wodurch man einander identisehe Formein leicht erkerinen kann. Auch konstruiert er zwei
Tafein, weiche die Werte von p), q1, r der ungeraden Divisoren der
Zahien t2 +4 atu2 und t2 - a u2 fMr die sukzessivenl Werte 1, 2, 3,.. 31,der Konstanten a angeben.
Diese grol~e Untersuchung Lagranges wird in den Berliner
Memoiren des Jabres 1775 fortgesetzt1).
FUr Zahien von der Form t + a U2 wurde im eben besproebenen
Teil der Abhandluug die allgemeine Divisorsformel
X =py 2 + 2qyz + rZ2
abgeleitet. Im. zweiten Teil wird dieser Divisor in die einfachere
Form 4na + b transformiert, wo n irgendwelche gauze Zahi ist,
a = -p r + q2, und b dureli die Zahien p), q, r, bestimmt wird. Weun
X emn ungerader Teiler ist, muB entweder _p oder r ungerade sein.
Es sei _p ungerade. Man kaun selireiben
_pX = (py +qZ)2 + aZ2 = y12 + aZ2
Wo y' == py + q Z. 1St p =PpIc2, a -~ r'p'c2, wo P und r-' teilerfremd
sein sollen, daun muB r' Pr + q'2_p'. wo q ==q'p'c, und wo P und
_p' teilerfremd sind, sowie auc~h P und p'r. Es muB also '=pc
sein, und man erhiilt P X -= p'XI + r'1Z2. Setzt man weiter p'r' = a',
dann lIiOt sich PX durch eine lineare Transformation von x und z
auf die Form 4 a'n 4- b' reduzieren, wo b' positiv oder negativ und
-numeriscb <2 a' ist. Nun k~nnen in der Gleichung ersten Grades
PX == 4 a'n + b' die unbestimmten glauzen Zahien X und n immer
berechnet werden, und man erhiilt X =: 4a'n' + ab', wo n' irgend eine
gauze Zahl, und a der Zialiler des vorletzten Niiherungsbruches fUr
den Wert von 4a ist. Wenn nun a'= a' c2:=a dann ist + axb'= b
und X hat die erwimnschte Form' weun dies nicht der Fall ist, muB
man noch n' = nc2 ~ 7 setzen (2' < c2), tind es wird
1) N. MWmoires de I'acad. roy. des sciences, anne'e 1776, Berlin 1777, p. 323
his 366 -=Lagrange, Oeuvres UI, p. 759-795.
CANITOR, Geschiclite der Mathematik IV. 12