Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XX.

zu, beweisen, lasse, man Aa -= Bt ~ Cin ~ Du2. Ferner setze man
a = be, it - bs, wo e und s teilerfremd sind, und es folgt aus
Abe = Bt2+ Cbts +Db 2S2, daB B = Eb und A c-= t2 + Cts +Dbs2.
Da Os + ex irgend eine ganze Zahi sein kann, sebreibe man t = — Os
+ ex und eliminiere t. Man ersielit daun, daB E 02 + CO + Db dureli
c teilbar, also == Le 1st. Wenn 2E0 + 0 H=, Ec == N genommen
wird, erhiiit man A == LS2 + ]fslX + NX2, sowie 4L111- M2 ==4BD
_ 02, und der grundlegende Satz der Abliandlung ist bewiesen. Ist
nun H1 numneriscli gr6lBer als L, wird dureli die Annahme s == mx + s'
eine neue Form A == LEs' + Mf's'x + N'X'2 abgreleitet, wo numerisch
-.M' <M und 4L'N'- MI = 4LN — H2 ist.
Dureli eine endliche Anzahl von Wiederholungyen dieser Operation
erhiilt, man A = 12+Qz+Bworin numerisch Q <.Q<1
4PB Q2 - 4BD - 02 und y und z teilerfremd sind. Wenn
4 BD - 0,2 positiv ist, dann muB also Q <j/ B sein; weun
4BD - 02 negativ 1st, so muB Q sein. Dureli diese
1Relationen sind die mdglichen Werte von Q bedeutend einageschr~hkt.
Ilberdies ist Q gerade oder ungerade, je -naclidem. C gerade oder ungrerade ist. Sobald nun Q festgesetzt ist, erhalt man PB durch die
Relation 4 PB 2 4BD -0, und man anign wiFk
toren von PRB, welehe nielit kleiner als Q sind, als Werte von
P und ft wiihlen. Aus obigem sieht man, daB die Bestimmung von
P, Q, B nur von dem Werte 4BD - 02 -= + K (K positiv) abhqingt.
Bemerkt man t-berdies, daB (Bt + Ctn + Dn2) 4B -= (2Bt +F Cn)?
+ (4BD - 02) U2, so wird es kiar, daB Teiler von Bt2 + Ctn +DiDa2
auch Teiler der eiufacheren Formel. X2 + K U2 sind. Betraclitet man
t2 + an' (a irgend cine ganze positive Zahi) als einen Spezialfall voin
Bt2+ Ctn + Dnj2, worin B ~ 1, 0= 0, D =-a, wo also K =4a,7
Q=+2q (q positiv), dann werden q und PB II= a + q. Ist
nun PBR=- p r, wo p >-2 q, r > 2q, dann ergibt sich py2 +2qyz +rz52
a-ls der aligemeine Ausdruck far die Teiler von t2 + anU2. FUr a = 1
wird der Teller y2 + Z2, fdr a == 2 wird er y2 -H 2Z2, fair a = 3 wird
jeder ungerade Teller y2 + 3 Z2 Die Resultate fdr diese drei Werte von (t
hatte friiber E uler durch eine ganz versehiedene, auf h~ihere Werte
von a nicht verwendbare Methode, ausgearbeitet 1). Die Methode von
Lagrange ist, aligemein und wird von ihm. bis auf a == 12 angewandt. Bei der Ausbeutung der Resultate ffur t2 - anU2 ist das Ver

1) N. Comm. PMr., T. IV,7 VI, ViII.