Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Zahlentheorie.

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und 2.- 3 4. 5 ausgedriickt. Es sind. niimlich 100000 - 21 und
10000 -= 24 Beguneli n leitet die Operationsregeln fiiir die neue
Schreibart ab. In zwei spiiteren Abhiandlunagen') wendet er semnen
Algoritlimus auf die lBestimmung der Faktoren. von Zalilen 2n + I
und 4p + 3 an, ohune aber dadureli bedeutende Resultate zu erzielen.
In ejner Solution particulie're du probleime Sur les
n omb r es p re mi e r s) entwickelt Be g ueIi n eine Methode, Primzahlen
von der Form 4 x2 + 1 zn finden. Das Resultat dieser Arbeit ist dem
Eulersehen in den Petersburger Memoiren der Jahre 1762/63, Bd. IX,
p. 99-153 Thinlich; die Methode ist aber ganz verschieden. Beguelin
wiihlt als Grundlage den Eulerschen Satz, daB alle Zahien, weiceb
nur emn eiuziges Mal in der Formel XI + y2 enthalten sind, wo x und
y teilerfremd sind, entweder Primzahlen oder das Doppelte von Primzahien sind. In einem, an Beguelin gerichiteten Briefe, datiert: Mai
1778 maclit ilin Euler3) auf die Tatsache aufmerksam, daB die allgemeinere Formel nxl + y2 die nimliche Eigenschaft besitze, und bei
geeigneter Wahl des it nrur Primizahlen liefere. Zur Wall von r&
diene folgende Regel: Wenn. eine Zahil in der Form n + y2 enthalten
ist, kleiner als 4 n ist (wo y und n teilerfremd sind) und. entweder
eine Prim~zahl _p oder 2-p oder _p2 oder eine Potenz von '2 ist, dann
ist die Zahl n, weidhe diesen Bedingungen geniiigt, eine geeignete
Zalil. Z. B. 60 ist eine solche Zahl, deun 60 + 2 60 + 72 0 12
60 4- 13 2 sind. alle Primzahlen. Euler entdeckte 65 versehiedenae
Zahien n, konute aber keine finden, welche 1848 iiberstieg. Die
Form 1848 X2 + y2 erm~glichte es ibm mehrere groBe Primnzahlen (z. B.
18518809) zu entdecken. Eine vollkomnaienere Mitteilung dieser
Arbeit wurde nach dem, Wunsche Eulers von N. FuB in einem.
IBriefe vom. 19./30. Juni 1778 an Beguelin. gemacht4).
In einer Abhiandlung Recherches d'arithme'tiqu e5) untersudlit
Lagrange die versdhiedenen Formen, welche die Teiler einer ganzen
Zahl von der Form Bt + Cta + Du' annebmen k6uineni. Es stellen
alle Buebstaben dieses Ausdrucks ganze Zahien dar, die audi negativ
sein diirfen; B, 0, D sind. zum voraus bestimmnte, t und. u unbestiminte, teilerfremde Zahlen. Es wird zuerst bewiesen, daB jeder
Teiler A die Form A == Ls2' + MS X +.NUj2 hat, wo s und x gleichfalls teilerfremd sind, und. wo, 4 LNY - lIP =4 BD - 02. Um. dieses
') IN. MWmoires (le l'acad. roy. des sciences, ann6e 1777, Berlin 1779, p. 239
bis 264, 265-310. 2) Ebenda, aunne 1775, Berlin 1777, p. 300-322.
3) Ebenda, ann6e, 1776, Berlin 1779, p. 337-339. 4) Ebenda, p. 340-346.
~)Ebe-nda, a'nn4-e 1773, Berlin 1775, P. 265-312 =L agr ange, Oeuvres, T. IlT,
P. 696-796.