Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Zahlentheorie.

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In dem Aufsatze Demonstrationes circa residua ex divisi one potestatum per numeros primos resultantia'1) entwickelt
L. Euler Lehrsaitze Uiber die bei Division einer Progression 1, a, a 2
&a'). durch eine Primzahl P erhaltenen Reste, und wird zur wichtiogen. Frage gefifhrt, ob es geometrische Progressionen gibt, weiche
eine vollstiindige -Reihe von Resten 1, 2, 3..., P - 1 liefern. Die
Zablen a, welehe dieses tun, werden primitive Wurzeln (radices primitivas) von P genaunt. Euler hat keinen strengen Beweis von der
Existeriz soicher Zahien gegeben. Ihr Vorhandensein voraussetzend,
gelingt es ihm aber, ihre Anzahl genau zu bestimmen. In GautV
Disquisitiones arithmeticae, Art. 56, wird Eulers Existenzbeweis angegriffen.
Der Eulersche Aufsatz Novae demonstrationes circa resolutionem numerorum in quadrata,2) wurde durch denL ag ra n geschen
Beweis (1770) des Bachetschen Satzes hervorgerufen. Euler war
weder mit seinem eigenen frilbieren Beweise, noch mit dem Lagrange s zufrieden. Letzterer war zu,abstrusus et prolixus". Deshalb wird dieser Gegenstand aufs neue bearbeitet. Die Darstellung
von Zahien durch die IFormen X2 + y2, Ix2 + 2y 2, x2+ 3 y2, x2~ y 2
+ 22 + U2 wird auf die Eigenschaften von Divisoren dieser Ausdrticke
gegri~indet, und Euler zeigrt, daB das Produkt zweier soicher iihnlichen Funktionen eine ilinen 1iinliche Funktioii ist.
Eine durch die Irrationalentheorie erzielte Lb5sung der Gleichung 3)
AX2 + 2Bxy + (Jy2 + 2-Dx + 2 Ey +- F = 0 darf oh-ne weitere Erkliirungen ilbergaingen werden, da Euler noch immer die Existenz
einer Ldsung vorauLssetzt. Die gleiche Voraussetzung wird von ibm
auch noch in einer durch Kettenbriicbe erlaingten Aufl6sung dieser
Glieichnng gemaclit 4)
In der Schrift Problema diophainteum singulare5) list
L. Euler die simultanen Gleichungen xy ~ xz LI, xy ~ yz 2= Di.
Bald nachber beschiiftigte sich Euler wieder mnit Primzahlen und berechnete sich eine Tafel voni Primizahlen bis zur Priaizahl
1001989, sowie von zusammengesetzten Zalilen mit ihren kleinsten
Divisoren I).
Uber die Zerlegung von Zahien in Summzanden haben auch
')N. Comm. Per. XVIII, 1773, p. 8.5-135 == Comm. Arith. I, p. 516-537.
')Acta Erud. Lips. 1773, p. 193 - Acta Petrop. I, II, 1775, p. 48 == Comm. Arith.
Ip. 538-548. 3) N. Comm. Per. XVIII, 1773, p. 185-197 =Comm. Arith. I,
p. 549-655. 4) N. Comm. Per. XV~II, 1773, p. 218-244 Comm. Arith. I,
p. 570-583. ~)N. Comm. Per. XIX, 1774, p. 112-131 == Comm. Aritb. II.
P. 53-63. 6)N. Comm. Petr. XIX, 1774, p). 132-183:= Comm. Arith. II,
I). 64-91.