Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XX.

170Ab-hnttIX
liefert wo S die kleinste gauze Zabi ist, welche 10' - 1 durch
D teilbar rnacht. Es sei ilim nicht gelungen, das Gesetz fifr die Bestimmung des s aufzutinden, weshaib seine Tabelle wertvoll sein
diirfte. In der Fortsetzuiug derselben kbnnte man sich vielleieht
dureli Anwendung der von Rallier des Ourmes') vorgesehiagenen
Divisionsmethode Zeit ersparen, welehe, wenn mnan zum voraus weiB,
daB die Division ohne Rest herauskommt, den Quotienten durch eine
von reelits nach links fortscbreitende Operation liefert. Bernoulli
beobaclitete, daB, wenn bei der Division von 1 mit D einer der Reste
D - 1 ist, dieser der 2 t Rest ist. Dann folgen einige Beobachtungen fiber Brflehe, wormn D das Produkt zweier Primzahlen ist.
Lambert, maebte den Bernoulli auf seine eigenen Arbeiten der
Jahre 1758 und 1769 fiber diese Sadie aufmerksam, worauf 13ernoulli in Additions an me'moire precedent-) eine Ubersicht
derselben gab und sie mit einigen Bemierklungen fiber die Fortsetzung seiner Tafein begleitete.
Mit den eben besprochenen Abliandlungen eng verbunden ist die
folgende von Johann Bernoulli III.: Recherches sur les diviseurs, de quelqnes nombres, tre's grands compris dans la
somme de la progression geome'trique1~10~12+10
+. J0T - S.') Er zeigt, daB diese Frage sich auf die Bestimmungn
der primen Teiler von 10' + 1 reduziert. Er AtMAz sich auf Theoreme
Eulers4) und berechnet eine Tabelle, weiche die primen Teiler vonl
S, fair die Werte 1, 2,..., 30 von t angibt. Auch tabelliert er
Primzahlen von der Form 16 n + 1, bis auf die Primzahl 21601, sowie Primfaktoren von Zahien der Form a 2 + l0b 2. Diese Abliandlung wurde von Euler gelesen und er teilte Bernoulli brieflich
Kriteria mit '), die zur Entseheidung dienen, welehe der Zablen,
10P - I oder 10P + 1, durch eine Primzahl 2p + 1 teilbar sei. Ist
2p + 1 == 4 n + 1, so brauclit ma-n nur die Teiler der drei Zahien n,
n& 4: 2, n j. 6 zu betrachten. Wenn man bei diesen die zwei Faktoren 2 oder 5 oder keine derselben fludet, ist 10P - 1 teilbar; findet
man aber -nur den Faktor 2 oder den Faktor 5, ist lOP + 1 teilbar. Ist
z. B. n == 13, 2p + 1 == 53, dann siud keine der Faktoren bei 13, 11, 7
1)Memoires de math. et phys., pre'sente's A l'acad. roy. des sciences, par
divers savans, T. VI, 1768, p. 550-574. 2) N. Medmoires de l'acad. roy. des
scien. et b. 1., annde 1771, Berlin 1773, p. 305-317. 3) Ebenda, aunnde 1771,
Berlin 1773, p. 318-337. 4) Comm. Petr. T. XIV, Theo. 31; N. comm. Petr.
T. I, ~ 38, T. VII, Theo. 13, ~ 67, T. VIII, T. IX, ~ 6 u. 6; Lagrange in euler
damals noch ungedruckten Arbeit. N. me'moires de l'acad roy. des sciences,
annie 1772, Berlin 1774, p. 35, 36 =- Comm. Arith. I, p. 584.