Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Zahlentheorie.

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Fe rmatsche Unmi~glichkeit r" + Sn qnl, n > 2 berifibrt, ohne jedoch
zu den Eulersehen Ergebnissen etwas beizutragen.
L agran ge verfa~te 1770 eine dritte Schrift liber die Anfldsunog
von unbestimimten Gleichungen, betitelt Nonv elile m t ho de pour~
resoudre les proble'mes indetermine's en nombres entiers')
wormn er Methoden eutwickelt, welche auf Gleichungen h~iherer Grade
anwendbar sind und die Behandlung der Gleichung zweiten Grades,
die er in zwei fritheren Abliandlungen auseinandersetzte, bedeutend
vereinfachen. Die Theorie der Kettenbrilehe, wie er sie in dem
Me'moire sur la resolntion des equations nume'riques und in
den Additions dazn entwickelt hatte, findet hier Anwendung. Die
Transformation von A = -Btn + (1t-'u + Dtl-2u2 -[-.. + Kul, wo
alle Koeffizienten ganze Zahlen und A und u teilerfremd sind, in die
Gleichung 1 PWI + Qu7?'y + Vyn wird dureli die Annahme,
t = uO - Ay (0 und y ganzzablig) erzielt. Die Berechnung von 0,
erfolgt dureli die von ilim schon frflher angewandte Differenzmethode2).
Sind 't und y in der transformierten Gleichung gauze Zahien, so
mnissen Pi, 9,... J7 sowie u und y selbst, teilerfremd sein. Man setze
x== i und es wird Px)1+ Qx,-1 +.+ V ===y" 1= z. wenn Zz=-0,
so drileke man eine positive Wurzel a mit Hilfe zweier Reihen von
Konvergenzwerten aus, welche die Kettenbruacheutwicklung liefert.
In der ersten Reihe sind alle Brucliwerte gr6Ber, in der zweiten Reihe
alle keiener als die entsprechende Wurzel a. Es folgt dann der
Nacliweis, dag unter den Brllchen der einen oder der anderen Reihe
sich der Bruch "vorfindet, und daB man auf diese Weise alle ganzy
zabligen Werte von. u und y aufsuheben kanin. Die Operation, weiche
dell Kettenbruch fair die Berechnungr von a hervorbringt, liefert also
zu gleicher Zeit die Zahien u und y. Die Auflbs-ungen bestimmnter
imnd unbestimmter Gleichungen k~5nnen demnach durch das gleiche
Werkzeug, die Kettenbrilche, erledigt werden. Naclidem die Einzelheiten ausgearbeitet sind, selireitet L agrange zur Anwendung' seiner
Ergebuisse auf unbestimmnte Gleichungen des ersten und zweiten.
Grades. Seine jetzige Methode der Aufl6sung von A ~'- Anenut er,,re s-simple et tre's-e'legante", seine frfihlere,a't la ve'rite' un
peu longue et complique'e".
Lagrange gestehit, daB seine arithimetischen Abbandlungen ihm.
viel Millie gekostet hUitten. Am 15. August 1768 schreibt er an
') M16m. de l'acad. roy. des sciences, tonle XXIV, annt~e 1768, Berlin 1770,
P. 181-250 == Lagran ge, Oeuvres, tome II, p. 655-726. 2)Memoire sur la
resolution des 6~quat. num., scolie dui no. 13.