Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XX.

p1 ==,up ~ in, q, = ipq ~ n, wo gt irgend weiche ganze Zahi sein kann.
Es folgt a =-= t(p2 - Bq2) ~ (pmn - Bqn) == pA ~ a, wenn a ml)
- qnit ankn c<A A
- Bqn st. Mn kanna < 2 machen, und es wird A, <i-4 Es
muB dann a2 - B dureb A teilbar sein und einen Quotienten von der
Form p12 - B q12 liefern, sonst ist die vorgelegte Gleichung unlhisbar.
Gibt es dagegen eine soiche Zahl, so hat man ei-ne neue Gleichu-ng
AI = p12 - Bq 12 aufzulisen, wo Al < A ist. Ist letztere Gleichung
l6sbar, so kann man aus den bekauinten Werten von p1 und q1 die
Werte von p und q durch die Gleichungen a = ppl - Bqq, und
pq -p~1q == ~ 1 bestimmen. Sind p und q ganze Zahien, dann
ist die vorgelegte Gleichung lisbar; sonst nicht. Um alle Lisungen
zu erhalten, mul3 man alle Zahie-n ac aufsuchen, die < 2 sind, und
a2 - B durch A teilbar machen. Auch mull jede der entstehenden
Gleichungenl Al == pl12 - B q12 eiuzein. untersucht werden. Es wird
dann erkfi~rt, iie man aus einem den Bedingungen geuiigenden Werte
von ac alle ainderen bestimmen kann. Es steilt sich beraus, wenn
die Anzabl teilerfremder Faktoren von A, die Primzahlen oder Primzahlpote-nzen sind, gleich n ist, daB die Aunzahi der Werte von a
gleich 0 oder gleich 2"- I ist. Unter Faktoren mit gemeinsamen
Teilern braucht man nur solche zu nehmen, deren griiler gemeinschaftlicher Teiler 2 ist. Es wird ferner die Gleichang A, =- p12 - Bqj2
genau so behandelt, wie es bei A =- p2 - B q2 der Fall war. 1hre
L~isung wird auf A2 == P22 - Bq22 zuriickgefiihrt, letztere auf A., == p32
- Bq3 2 etc. Kann man nun irgend eiue dieser Gleichungen l0"sen,
etwa A., == 1),2 - B q7" so kaun man zu Werten p und q aufsteigein,
weichie die vorgelegte Gleichung l6sen. Es wird daun die Gleichung
A pI, - Bq,,2 einer eingehenden Untersuchung unterworfen, wormn
die Kettenbriiche wieder eine hervorragende Rolle spielen, und alles
darauf zuspitzt, ein Glied einer Reihe I], El,. zu finden, das gleich
emns wird. Es ergibt sich endlich, daB A = p2 - B q2 bei positivem
B, wenn sie ilberhaupt liisbar ist, eine unendliche Anzahl von L~isungen
hiat. Der Fall, wo B negativ ist, wird leichter gefunden. Die ganze
Abliandlung ist die erste vollstiindige und strenge Auflo-sung von unbestimmten Gleichuugen zweiten Grades mit zwei Unbekanuten durch
ganze Zahien. Wie schon bemerkt, tritt die von Lagrange in seiner
ersten zahlentheoretische-n Abhandlung geliste Gleichung ~ 1 ===r
- sbier als emn Spezialfall auf. L agr ange sagt nun darilber:,Die eben gegebene Methode ist direkter und einfacher; zudem hat
sie noch den Vorzug, zu zeigen, daB3 die gegebene Gleichung fuir jedes
B lbsbar ist. Dies konnte ich damals nur auf einem ziemlich grollei
Umwege dartun." Am Schiusse der Abhandlung wird auch die