Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

162

162 ~~~~~~Absch-nitt XX.

wo ir) < 0 1111d - < -j 1, so daB z, v1 22,.. en nedih
Anzabi ganzzahliger, negativer Zahlen sind, wovoII wie oben die
Anzahl versehiedener Werte endlich ist. Es gibt also unendlich viele
Zahlen x, x,.. und y, y',.. welehe die Gleichung x2 - ay2 == B
befriedigen, wo -B irgend. emn Wert Z(r) oder zi' ist. An dieser Stelle
untersuchte nun Euler die Werte Z0r, Z(r); Lagrange schliigt aber
einen ainderen Weg emn und. bennLtzt das schon den Indern bekannte
Lemma: Das Prodnkt Von X2 - a~y2 und XI2- ay' 2ist (xx'~ ayy')2
- a (Xg' + yX')2. Man hat also
(A), It"== (xx' ~ ay y')2 - a (xg' ~ yX')2,
autch
(B) B(g'2I -y) =- (Xy' + yX') (Xy' _ yX').
1st nun B- prim, so muB nach (B) entweder xg' + yx' oder xy' - YX'
durch BR teilbar sein; es sei xy ~ gx' qBR, daun gibt (A),
B2 =~-(xx' ~ ayy')2 - aq2B2,1
und xx' A- ayy' ist durch It' teilbar. Wenn xx' + ayy' p= so erfolgt sogleich 1 = p2 - (tq2. Fir den Spezialfall, BR prim, ist also
die Ldsbarkeit erwiesen. Dieses ist aber nur emn kleiner Teil der
Untersuchung fUr den Fall, daB BR und a teilerfremd sind. Gemeinteilige Werte Yon -B und a sind einer besonderen Diskussion unterworfen. Die zwei Fiile bieten bedentende Schwierigkeiten dar; der
Bleweis, daB X2 - ay2 -= 1 (wo a keine Quadratzahl ist) li6sbar ist,
wird aber allgemein erzwungen. Zu gleicher Zeit ist das Verfahren,
-eirie L~sung zn. finden, angedeutet.
Der zweite Schritt besteht darin, ans der kleinsten LUsung von
-2 ay2 == 1 alle anderen abzuleiten. 1st p, q emn Wertpaar, so wird.
1 p2 aq 2)" =- (p A- /aq)hIL (p - J/aq')'1 == (x A- 1/ag) (x - I/ay),
und
__(p ~ qJ/iI + (p -q
x 2
p (PA q I)"'~ - (p - q,Setzt man nun m = 1, 2, 3,... s0 hat man eine unendliche Anzahi
Liisungen. Es folgt der Beweis, daB, wenn p und q die kleinsten
L~bsungen siud, m == 2 die niichst grU~eren liefert usw., so daB in,obigen Ausdriicken ffir x mAd y alle LUsungen eingesehlossen Sind.
Der dritte Schritt ist der Beweis, daB alle Werte von x und!g,
vwelcle der Gleichung X2 _~ ay2 1= gentigen, unter den Zahlen