Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Zahlentheorie.16

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mzahligrer Periode liefert und g 1 durchli n niclit teilbar ist.
L amnb er t zielit auch die Folgerung, daB8, wenn g-1 Periodeuazahien
vorliegen und g ungerade ist, g prim sein muB. Setzt man a == 2rn + 1,
so ist (10m -1 1): a eine gauze Zahi q und (102m - 1): a == 10OU1q - q.
1st m niclit prim, so kann man es durch einen gewissen seiner Faktoren
ersetzen. Nimtnt man a == 13 und rnm 3, so wird (10-1 + 1): 113
77, 77000 - 77 == 76923, weshaib O~=0 076923, 0761923 etc.
1 13 7 13
Wenn a nicht prim ist und die Periodenzalil 2 m gyibt, daun
a:
haben a und 1Gm + 1 einen gemeciiisamen Faktor. Es folgen dann
einige Thunliche aber liingere Siitze, die zur Entscheidung, ob eiue Zahi
prim sei oder nicht, Anwendung finden k~ninnen. Mehrere derselben
sind nicht nur auf Dezimalbrache,7 sondern gleichzeitig auf Brflche
anderer Systeme anwendbar. Die Auffindung der Teiler einer Zahi
wird von Lamnbert auch in einem Briefe an Oberreit besprochen').
Soweit ist Euler der einzige groBe Mathematiker des 18. Jalirhunderts, der sich eingehend mit der Zahientheorie beschdiftigt hat.
Nun ersebeint die erste Arbeit -von L agr anig e auf dieseni Gebiete.
Am 20. Septem —ber 1768 vollendete er in Berlin seine Abbandlung Solution d'un probleime d'arithmetique2). Darin wird
zum erstennuial ein strenger Beweis von der Lb5sbarkeit der Gleichung
-2 ay2 - 1 gpgeben. Er kannte zu dieser Zeit die Arbeiten von
Wallis fiber dieses Problem, aber nicit diejenigen Eulers. Um. zn
zeigein, daB die Gleichung immer gauzzahlig 18sbar ist, entwickelt er
}/a in einen unendlichen Kettenbruch
J/a == q 1
wo qqq" *.gauzzahlig und positiv sind und erhiilt die Niiherungs1rch m M mn' 31' in" 711I" oil I
0 n~ N' n'' 7 XIYn N" *~wrn~qJ~'n1
m'=qM~rn *my n= 1, N = q'it n'= q"N n, und
M(r) >-a>m(r) - 01 21 Er zeigt daB M}(r)2 _aiN~r) 2Z(r)> 0
N(r) ~ (r) 1 ~
und < M~r) ist, weshalb die unendliche Atizabl positiver, ganz
zahliger Werte Z, Z', Z",... nur eine endliche Auzahi untereinander
versehiedener Zahien darstellen. Auch hat man,, 2r I- a(r) 2 -. p(r)
')J. H. Lamb erts Deutscher gelehrter Briefweehsel Bd. 11, Berlin 1782,
S. 378-.38'2; Bd. VI 1783, S. 323-~326. 2) Miseellanea Taurinensia, tome IV,
1766-1769 =- Oeuvres de Lagrange, tome I, Paris 1867. p. 671 —731.
CAlIToR, Geschichte der Matliematik IV. 1