Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XX.

quadratischen Wert von z zwischen 1 uind 100 den kleinsten Wert
von x und y, weicher eiue LO-sung der Gleichung X2 __-y 1 1'st.
In dem Aufsatze Quomodo numeri praeniagni sint explorandi, utrum sint primi, nee ne') fiihrt Euler mit der Betrachtung der Primizablen fort u-nd entwickelt Methoden zur Entscheidung,
ob eine Zahi von der Form 4n + 1 prim ist oder nicht.
Wie frfilher (Bd. 1112, S. 617, 618, 719-721) kiar gernacht wurde,
verda-nkt man Euler die ersten Arbeiten Uiber analytische Zahientheorie. Dieser Gegenstand wird nun in der Abbandlung De partitione numerorum in partes tam numero quarn specie
data S 2) fortgesetzt. Aus semnen Ergebuissen heben wir nur liervor,
daB er mit Hulfe der erzeugenden Funktion 1/(1 - xaya) (1 - x~y~l)
(1 _ Xcyy) (1 - Xd yd) etc. und der erzeugten Reihe 1 + Ax —!q-*
+ Bx- -y' + Cx-, y.w + etc. die Folgeruing zieht, daiS, wenn darin ein
Glied -Nxlyv vorkommit, es IN Uisungen der simultanen Gleichungen
ap -[ bq + or etc. == n, xcp + fPq + yr etc. == v gibt, weun aber dieses
Glied fehilt, keine positiven gauzzahligen Werte ffur p, q1, retc. existieren,
Die Entscheidung fiber die Anzahl L~isungen soldier Gleichungen ist
somit auf das Studium der Koeffizienten N von xfly, zurflckgefflhrt.
Euler bemerkt, daB vormals Lo-sungen durch die regula virginum-3)
erhalten wurden.
In einer Abliandlung, Observationes variae in mathesin
puram 4), teilt J. H. Lamnbert unter anderem Satze fiber rekurrierende
Dezimialbriiche mit. Er beweist, daiS bei teilerfreinden Zahlen eine
Division mit einer Primzahl, aul~er 2 oder 5, stets einen periodischen
Dezimaibruch liefert, und daiS alle periodischen Dezimalbrtiche aus
rationalen Brflchen entspringen, weshaib keine irrationale Grbl~e durch
einen periodischen Bruch dargestellt werden kanin. In semnen
Adnotata quaedam de numeris eorumque anatoinia 5) setzt er
diese Studien fort, gibt einen Beweis des schon frahler von Lei bniz
und Euler bewiesenen Fermatschen Satzes und zielit daraus weitere
Resultate. 1st a eine Primizahl, aber nicht == 2 oder 5, dann stellt
(la1 - 1): a eine gauze Zahi dar; ist (1Gm - 1): a eine gneZahi,
daun ist eutweder m durch a - 1 oder a - 1 durch m teilbar;
weshaib g nichit prim sein kann, im Falle daB -einen Bruch mit
g
') N. Comm. Petr. XIII, 1768, p. 67-88= Comm. Arith. I, p. 37 9
N. Comm. Petr. XIV, I, 1769, p. 168-187 Comm. Arith. I, p. 391.
~)Regula virginum.= regula coecis == regula potatorum. Man sehe
C hr. P e s che cs Deutliche Erklitrung derer Kaufmann- und i6conomisehen
Rechnungen etc., bludissin 1759, S. 440. 4) Acta Helvetica, Vo.II Bsln
1758, p. 128-168. -1) Nova Acta Eruditorum, Lipsiae 1769, p. 107-128.