Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Zahlentheorie.

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wenn X{~ (V, a, b) daiin X2 I
x (V La,b, c) 92 z
" y y (a,b, c) X
X=(v, a, b, c,d) 2
q ab,c(d) I zy
etc.
VWird n1111 einer der Buchstaben 03, 6Y etc. =1, so hat man eine Aufifisung
4cr Gleichung X2- _ y2 == 1. Aber keiner dieser Buebistaben kann
1- werden, weniu nicht zugleich der entsprechende Index 2v wird.
Wenn deshaib irgend eine Periode, die wir in der Anordnung der
Indizes, finden,7 den Wert 2v enthulit und wir x und y, den Niihernngswerten, weiche der ersten Periode entsprechen, gleiclistelien, erhalten
xvii - y -- unter der Bedingung, daB die Auzahi der Indizes, in
einer Periode, gerade, ist, und x2 -= zy2 -- t, wenn diese Auzahl un(ferade ist. lIm. ersteren Falle haben wir direkt die ogesuchte Lbisung;
im letzteren Faile soil man entweder zwei Perioden weiter gehen, wo
dcir Index 2 z~ gerade ist und fflr x und y die Nulherunogswerte in der
dritten Periode wiiheie, oder man soil _p =2 X2 -F 1 und q == 2xy
-etzen. Dieses Verfahren liefert auf bequLeme Weise die kicinsten
L6sungen Von x2 _Zy2 =- 1. Da aber nirgends bewiesen ist, daB der
Index 2v notwendig vorkoirnnt, ist man niclit sicher, daB die Gleichung
auBer x == 1 und y == 0 wirklich lisuingen hat. Der engrlische Zahientheoretiker H. J. S. Smaith driickt sich fiber diese Abhiandlung so
aus::,Eu 1 e r beobachtete, daB P notwendigerweise eim Nilherungswert
q
von j/Z- ist, weshaib es geniigt, urn die Zahien p und q zu erhalten,
J/z in einen Kettenbruch zn entwickel-n. Es ist aber sonderbar, daB
1iir die Notwendigkeit nie eingefalien ist, zur Vervollstiindigung der
Theorie zn beweisen, daB die Gleichung auch mnimer auf 16sbar sei
und daB durch die Entwicklung von j/z aile Lb5sungen gegeben
Seien. Sein Memoir enth'ailt aile fMr den Beweis n~itigen Elemente;
hier aber, wie in anderen Stelien, ist Euler mit, einer Jnduktion. ohnae
streingen Beweis zufrieden"').
Dieser Aufsatz Eulers enthiilt zwei Tafeln. Die erste, gibt, die
Entwicklung ailer Zahien iunter 121, mit Ausnahme der Quadratzahien, in Kettenbriichen an; die zweite enthidit fair jeden nicht
R)I. J. S. Smiii th, British Assn. ]report 1861, p. 315 = Collected worlis,
Vol. I, Oxford 1894, p. 192.