Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Zahlentheorie.

15.5

*;chienenen Aufsatzq iiber Zahientheorie) wi derlegt. Nun zeigt er,
&la3 es keine algebraisehe Funktion X CC+ OXw + rX2 +... gebe,
weiche nur Primzahlen darstelle; denn, wenn x == a und
Amacc+ Oa +ya 2 + —, er~hialt man im Falle x = —nA +a fuir X
einen Wert, der durch A teilbar ist. Die Schrift endet mit melireren
Tabellen. Die erste enth~ilt alle Primizahlen nicht gr8SBer als 1997
und von der Form 4n + 1, jede als die Summe zweier Quadrate ausgedriickt, sowie die Werte von a, weiche das Binom a 2 + 1 durch
-diese Zahi teilbar macht. Drei andere Tabellen folgen. Diese zeigen.
weiches fleiBige empirische Studium Euler der Zahientheorie widmete
und wie es E ule r m~glich wurde, viele Lehirsiitze durch bloBe Anschauung zu entdecken.
Urn die Lelire von den Kettenbrilehen leichter darzustellena und,
im, besonderen, urn Gesetze zu entdecken, weiche die Auffindung
irgend eines N~iherungswertes ohne die Berechnung aller vorangehenden gestatten, schuf Euler in einer Selirift,, Specimen
algorithmi singular is 2) eiuen eigenen Algoritlimus und dazu
passende Rechnungsregeln, weicher er sich in eiuer drei Jalire spiiter
gedruckten wiclitigen zahientheoretischein Schrift, D e u su no vi
algoritlimi, bedieute3) Emn Kettenbruch a + 1 - wird (lurch das
C
Symbol (a, j ) dargestelit; emn unendlicher Kettenbruch durch
a, b cd, et.) Man hat hier (a, b, c, d, e) ==e (a, b, c, d~) + (a, b), c), audih
(b, c, d, e etc.)
(a, b, c,d, e) == (e, d, c,b,a). Da nun (a, b, c,d) (), c, d, e) - (b, c,d) (a, b, c,d,ce
(a, b, c, d1) e (b, c, d) + (a, b, c, d, e) (b, c) - (b, c, d) e (a, b, c, d) - (b, c, d) (a, b, c)
- - {(a,b1, c) (b,c, d) -(b, c) (a, b,c, d)}I = ~ 1, weil (a) (b) - 1(a, b) = — 1
ist, IiiBt sich der Nachweis ftihren, daB die sukzessiven Niiherungsbriiche sich dein wahren Werte des Kettenbruchs mehr und mehi
unihern. Denn man hat (a) (a, b) 1 (a, b) (a, b, c) __ 1 1N.
1 (b) =_ - 1-(b)' (5) - (b,c- (b)(b, c)
Zieht man letztere Gleichnngen zusammen, so hat man die Euatwicklunag,des Kettenbruchs in einer Reihe. Euler erhiilt durch Induktion
Formein dieser Art (a, b, c, d) (e, f, g, h)- (a, b, c, d, e,, g, h) 1I
-(a, b,c) (f, g, h), (a, b,e, d,e) (e,d(,e, f,g, h) - (a, b, c,d, e, f,Y,h) (c, d, e)+ (a) (g, h) und lehrt derartige, Formein in beliebiger Auzabi hinzu1) Comin. Per., VI., 1732-33, p. 103 == Comm. Arith. 1, p. 1; Cantor,
Bd. 1112, S. 61 1. 2) N. Comm. Petr. IX, pro annis 1762 et 1763. Petropoli
1764, p. 53-69. Vergi. S. Giunther, Nilherungswerthe von Kettenbrilehen,
Erlangen 1872, S. 1-10. 3) Ebe-nda, T. XI, pro anno 1765, Petropoli 1767,
p.) 28.