Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

154

Abschnitt XX.

und geometrischer Reihen erhaltenen Reste, und erh~lt den wohibekannten Ausdruck fuir die Anzahi der Zahlien, die primt zu einer
gegebenen Zahi und nielit grbBer als dieselbe sind. Ist die gegebene
Zahi das Produkit dreier ungleichen Primzahlen p), q, r, dann ist diese
A-uzahli= (p - 1) (q - 1) (r - 1). Dieser Ausdruck, dessen VTerallgemeinerung Euler andeutet, wird 85fters die,,Eulersche Funktion"
genannt. Am Ende der Sehrift findet er folgende Erweiterung des
von ihm in frifiheren Jaliren schon zweimal bewiesenaen Fe rmat schen
Lehrsatzes: Wenn N prim zu x isL und n die Anzahi der Zahien
bezeichnet, die prim zu N und niclit gr8$er als N sind, so ist x" - 1
imimer durch N teilbar.
In einer dritten Arbeit fiber Zahientheorie in diesem Bande, niiimlicb
Supplementum quorundain theorematum aritlim eticorum,
quae in nonnullis demonstrationibus, supponuntur') sind die
Eigrenschaften ganzer Zahien von der Form a 2 +;3b2 entwickelt und
auf das Problem angewandt, drei Kubikzahlen zu linden, deren
Suinme eine Kubikzahl ist, sowie auf die Vervollstiiidigung seines
Beweises des beriflhmten Fermatschen Unm,6glichkeitssatzes iiher
Xn + yf n. n, fUr den Fall n == 3. Man wird sich erinnern, dall
schon zweiundzwanzig Jahre frfther Euler, fflr den Fall n ==4, deit
Unm~iglichkeitsbeweis geliefert hatte. (Bd. 1112, S. (313.)
Im Aufsatze De resolutione formularuiin quadraticarum
indetermiriatarum per numeros integro S2) wird die Auffindung
rationaler oder ganzzahliger Werte von x und y der Gleichung
ccx2 + fhX + y y2 betrachtet, oline dal3 algoemeine Gesichtspunkte
erreiclit wiirden. GroBes G-'ewiclit legt Euler auf folgenden Satz:
Wenn die Gleichung a X2 + 1) -= y2 ffir x =- a und y == b, und die
Gleichung aXX2 + q- y2 fUr x = c, y == d erffililt sind, dann sind
x = b c ~ a d und b d +c aac Ldsungen von a X2 +_p q =-? 2 Waire
Euler die Zalilentheorie der Inder zuganglich gewesen, w(Irde er
diesen scldinen Satz scion in den Arbeiten von Bhaskara gefunden
haben 8).
In seiner Schrift De numeris primis valde magni 4)vergleicit er die Auffindung des Gesetzes der Verteilung der Primzahler'
mit dem Problem der Quadratur des Kreises: beide gehen fiber unsere
Fassungskraft. DaB die Ferm atsche Formel, 2 2n + 1 immer Primzailen darstelle, hatte E ule r in seinem allerersten 1732-33 er') N. Comm. 1Petr. VIII, 1760 et 1761, p. 105-128 =Comm. Arith. 1,
p. 287. 2) N. Comm. Petr. IX, 1762-63, p. 3-39 =Comm. Arith. 1,
p. 297. 3) HI. Hankel, Gesch. d. Math. in Alterth. u. Mittelalt., Leipzig 1874,
S. 200. 4)N. Comm. Petr. IX, 1762-63, p. 99-153 ==Comm. Arith. 1,
p. 356.