Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Algebra.

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P i et ro P aol i mit der Bemerkung:,,Es enth~illt meine alten Memoirein
-Fiber die Aufl~5sung numerischer Gleichungen,... mit mebreren Noten
fiber diese Memoiren, sowie audi fiber andere Punkte der Gleichungstheorie. Ich filgte jene Noten bei, urn die Aufmerksamkeit von Matheimatikern auf diesen wichtigen Gegenstand der Analyse zu ricliten,
weichen sie beinahe verlassen zu haben scheinen." 1) Die zwei ersten
Noten enthalten Verbesserungen in den Beweisen der Fundamentalsiitze, t) daB zwischen a unmd b, wo f(a) == + und f(b) -,
wenigstens eine reelle Wurzel liegt, (2) daB, wenn eine reelle Wurzel
zwischen a und b liegt, f(a) und f(b) entgegengesetzte Zeichen
haben. Einen iihnlichen Zweck hat Note III, wormn er die Gleichung
(ler Wurzeldifferenzena behaindelt. flier werden die Arbeiten von
Waring erwiihnt und daraus die Gleichung, deren Wurzeln die
quadrierten Wurzeldifferenzen der Quintik sind, entnommein. L agrange
selber hatte die Koeffizienten dieser Gleichung nie berechnet. Es
wird dann in Note IV das Problem weiter untersucht, eine Zahi D
zu finden, die kleiner als die kleinste Wurzeldifferenz ist. Die erste
Berechnumgsweise von D wurde von ihm 1767 erklart; die zweite
wurde 1795 in Vorlesungen auf der Normalsehule vorgetragen.2 ) Die
dritte ist eine Mlodifikation. der zweiten und nicht ganz so schwerflullig. Die Annaherungsmethoden von Newton und Raplison
werden in Note V kritisch untersuclit. Es stelit sich heraus, da1B
Newtons Methode mit Sicherheit nur zur Berechnung der gr6Bteji
oder kleinsten reellen Wurzeln derjenigen Gleichungen dient, in
weichen der reelle Teil a jeder imagindren Wurzel a + io zwischeii
der gr8Bten und der kleinsten reellen Wurzel liegt. Zuniichst werden
die Anniiheruug durch rekurrente ileihen und die Fon t ain esche
Aufl~sungsmethode untersuclit. Er zeigt, daB F ontaines Verfahren
selbst fMr Gleichungen niedrigen (z. B. dritten) Grades Diclit imimer
zum Ziele ffiht. Es folgen dann Noten mit bistorischen Angaben
fiber Wurzelgrenzen, die Reellitat der Wurzeln und die Mdglichkeit,
alle imagindren Wurzeln einer Gleichung in der Form a + J/ 1b
anszudrflcken. Note X betrifft die Zerlegung eines Polynoms in
reelle Faktoren, Note XI weitere Approximationsformein zur Berechnung der Wurzelwerte. Die letzte Note behandelt Transformatio-nen,
weiche Gleichungen liefern, in denen alle x enthaltende Glieder
eiuerlei Zeichen haben und das absolute Ghied das entgegengesetzte
Zeichen besitzt.
') Memorie della regia accad. di scienze in Modena, Serie III, T. 1, 1898.
p. 109.. 2) S~anees deS 6coles normales, T. 3, p. 466 =- H. Niedermiffllr,
op. cit., p). 90-97.
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