Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Algebra.

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Wer vo xweleher alternierend zwei Arten von Niiherungsbriiehen
des x liefert. Die Werte der einen Art sind alle > cc, die der anderen
Art sind alle <cc. Die Eigensehaften dieser Ausdriicke werden mit
Meisterhand entwickelt. Bei einer rationalen Wurzel wird der Kettenbruch endlich und liefert den genauen Wert derselben. Bei einer
irrationalen Wurzel kennt man bei jeder einzelnen Anniiherung die
Gr~iie des Fehlers, was bei der New ton schen Methode bekanntlich
nicht der Fall ist.
Urn diese Schrift zn erganzen und seine Methode zu vereinfachen,
schrieb Lagrange Additions an memoire sur la resolution
des equations nurneriques1). Die Gleidhung der quadrierten
Wurzeldifferenzen wird volistanudiger besprochen. In derselben kann
die Anzahl imagindrer Wurzelpaare die Anzahl Zeichenfolgen niclit
iibersteigen. Durch blof~e Besiehtigung der Zeichen kann man entscheiden, ob die Anzahl reeller Wurzeln eine der Zahien 1, 4, 5, 8
9, 12, 13,..., oder ob sie eine von 2, 3, 6, 7, 10, 11,... ist. Dieses,
geniigt, die ganze Anzahl von reellen und vonl imaginiiren Wurzeln.
in allen Fallen zu entscheiden, wo der Gleichungsgrad nicht huiher
als 5 ist, und wo ffur h~here Grade man im voraus weiB3, dal3 nieht
mehr als 4 irnaginiire Wurzeln vorkommen.
Es folgen Anwendmngen auf die vier ersten Grade. Bei der
Kettenbruchentwicklung der numerisehen Wurzeln wird hervorgeho ben, daB auch ein unendlicher Kettenbruch deni genanen Wurzelwert liefert, wenn nur dieser Bruch periodiseli ist. DaB jeder periodische Kettenbruch auf eine quadratisehe Gleidhung zuritickgefifihrt
werden kann, war la~ngst bekaunt; der inverse Satz wird aber hier
zurn erstenmal demonstriert. Den Spezialfall, x2 = — c, hatte Euler
friuher') ohue Nacliweis angefiflirt, wo J/c- zu einem. periodischen
Kettenbruch entwickelt wurde.
Obschon die Niiherungsmethode von Lagrange theoretisch vortrefflich ist und vor iilteren Methoden den Vorteil besitzt immer
mit Sicherheit zurn Ziele zu fijhren, so daB Lagrangp, mit Reeht behaupten konnte,,,cette me'thode ne laisse, cc mnc semble, rien 'a
de'sirer"', besaB sic ffir praktischc Zwecke geringen Vorteil, denn die
Wurzel wird in der Form eines Kettenbruchs ausgedriickt uind die
lBerecbnuing derselben ist millisam.
Eim Werk, Traite' de la resolution des equations en
gine'ral, von J. Raym. Mourraille in Marseille 1768 herausgegeben,
behandelt hauptsachlidh die Aufl~sung von Gleichungen dnrch Anjaiherung. Wa~hrend vierzehn Jabren, bis 1782, war Mourraille
') M~moires de 1'acad. roy. des sciences, ann6e 1768. T. 24, Berlin 1770,
P. t11-18O = Oeuvres, T. 2, p. 581-652. 2 N. Comm. Petr. XI, 1765.