Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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X"u-schnitt XX.

auf die Kurventheorie, indern er in dem Ausdruck (x - a) (x - 0
-0 (a, fl,... Wurzeln), x == p, dann x == q setzt und die zwei Ergebnisse vergleicht, Substituiert man fuir a die Glieder der Progression 0, D, 2 D,..., wo D kleiner als die kleinste Wurzeldifferenz
Sein muB, so ist man imstande die Lage aller reellen Wurzeln zn
bestimmen. Das Schwierigste ist, den Wert von D zu berechnen.
Lagrange hat daftir drei Methoden angegeben; eine 1767, eine
andere 1795, die dritte 1798. Die erste sttitzt sich anf die Gleichung,
deren Wurzeln die Quadrate der Wurzeldifferenizen von f(x) == 0 sind.
Von dieser Hilfsgleichung leitet er die Anzahl von imaginairen Wnrzeln
ab. Man wird sich erinnern, daB schon frtihfer Waring diese wichtige
llulfsgleichung abgeleitet hatte; Lagrange s Exposition ist aber
viel eleganter. Warings Schriften waren Lagrange 1767 noch
nicht bekannt.
Gleiche Wurzeln werden durch die Divisionsoperation zur Entdeckung des griiBten gemeinschaftlichen Teilers von f(x) und f' (x)
bestimmt. Ailgemeine charakteristische Beziehungen zwischen den
Koeffizienten vo~n f1(x) =- 0 fuir den Fall, daB f (x) und f' (x) einen
genieinschaftlichen Teiler haben, oder f(x) eine vorgeschriebene
A-nzahl mehrfacher Wurzeln besitzt, werden von Lagrange weder
hier noch in spilteren Schriften entwickelt. H~dtte er sein beliebtes
Werkzeug, die symmetrischen Fun-ktioinen, auf die Yervollkommnung
der Theorie der melirfachen Wurzeln angewandt, so wedre er nach
der Ansicht S ylye st e rs') auf einem. Rtickwege selir walhrscheinlich
ant' die Entdeckung, des Sturm schen Satzes gekommen. Die Berechnung der negativen Wurzeln in der Gleichung fUr die Quadrate
der Wurzeldifferenzen liefert Lagrange die Werte 10, weiche in den
imaginiiren Wurzeln a + i/3 der vorgelegrten Gleichung erseheinen.
Urn a zu finden, setzt er in die vorgelegte Gleichung x == a + i/3, und
erhiilt durch Trennung der reellen und imaginitren Glieder zwei Gleichungen, die fflr denselben Wert von jl ei-nen gemeinschaftlichen
Teiler haben. Setzt man denselben gleich Null, so kann man ac berechnen.
Es ist bemnerkenswert, daB Lagrange die Kettenbriiche mit
Vorliebe als emn Mittel zur Wurzelberechnung von bestimmten, sowie
unbestimmten Gleichungen angewandt hat. FUr erstere beschreibt ereine ganz neue Naiherungsmethode. Ist p der erste Niiherungswert
einer Wurzel ac von f~x) == 0, setze man x p + I dann in der
resultierenden Gleichung f(y) == 0, y == q +,ferner in 1() 0,
1Y

1) Philosophical Magazine, Vol. 18, 1841, p. 2419.