Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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rX lischnitt XX.

Ruffinis fiber die Unliisbarkeit der Quintic und grehbrt deshaib einer
spiiteren Zeitperiode an. Nacli Poggendorff und Matthiessen
wurde das eben zitierte Werk 1798 gedruckt. Alle Exemplare, die
wir gesehen haben, tragen aber die Jahreszahl 1799 ').
Zn Berechnungsmethoderi der Wurzeln dureli Anu~herung f-bergrehend, fangren wir mit einer Selirift, Observatioines variae in
mathesin puram2), von J. II. Lambert an, welehe die Gleichungstheorie beriihrt. Formein flir die Berechnung von Summen der
Wurzelpotenzen und der W~urzeln selbst werden hergeleitet. In
0 == xm - Ax,"- 1 + BXm-2 - Ix + K setze man ftir x nacheiuander die Wurzeln a, j3, 7,.., dann wird dureli Addition dieser
Ausdriieke AJ> AJ;.m1 Bfrrmn-2 + + ifr + - inK, w
die Summe der mnte" Potenzen der Wurzeln bezeichnet u-nd mn nacheinander die Zahien 1, 2, 3,... vorstellen kann. Um Lamb erts
Niiherungsmethode zn kenuzeichnen, setze man in 0 == a - bx + cx2'
-- -+ pxm11, x = k + y and verwerfe alle Glieder, die y2, yl,... enthalten wodureli man x =k+y= "a- c k2 +2 dkc" —. - -(m-1).pkm
b - 2Ck +3dk2 - -mpk -1
erhiilt. Wenn lk irgend eine Zahi ist, gebe diese Formel eine Zahi,
weiche ein Niiherungswert fair die dem k niaichstliegende Wurzel sei.
Sind alle Wurzeln positiv, dann setze man - Ik gleich dem Koeffizienten von xmn u, nd man erhalte einen Niiherangswert fair die,
grblfte Wurzel, wiihrend kc = 0 einen fUr die kieinste liefert.
L am be rt erwiihnt noch eine zweite Niihernngsmethode als ei ne~
sehr nattirliche und einfache. Es sei x2 -I- pX - q, dann ist q >px,
x < q p, X2 <q2:p2, X2 +pX <q2:p2+pX >q, X > q:p-_q2:_A,
x2 >q2:p2- _2q3: p4 +q4:p6, x2 +_pX >q2:jp2- 2 q3: p + q4: p
+pX < q, X< q:_p _q2:_p - 2q:p ' -p 4:p7 etc. Aufdihese Weise
erhdIlt er obere and untere Grenzen fMr x in der quadratischen und
auch in der aligremeineren Gleichung ax"s ~ bx) - d=(, weiche sich auf~
die Form xmn + jpX = q reduzieren Miit. Flur xm + p x == q schlielft
er daun, daB
x=q:1) -i 3m-2 t-2:P) qm:pm +l + 11(12rn-l:p 2m~1 rnm2) 2 Pec,
eiue Reihe, die konvergiere, wenn (m, - 1)rn - lprnll> m4m qIIfl 1. Also
konvergiere diese Reihe f~r den irrednktiblen Fall von x3 + p X =- q.
Nun lIRBt Lambert die Bemerk-ang folgen:,,Qui easus praecise iliuam
complecitur, qui hactenus nullo modo perfecte solvi potnit. V. Cel.
Clairant, Elem. Algebr. P. V. ~ 8", woraus zu, ersehen ist, daf?
')Man selhe auch E. lBortolotti,,Paolo Ruffini", Annuario della IR. univorsit! di Modena 1902 -1903, p. 12; Carteggio in Mein. d. Soc. ital. d. Scienze.
S. 311, T. XIV, 1906. -) Acta, Helvetica, Basileae, Vol. III, 1758, p. 128-168.