Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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A.U.I.,sch-nitt XX-,darf. Wenn i1 1, so ist ilir Grad ungerade und sie hat wenigstens
eine reelle Wurzel, welehen Wert mn auch haben mo-ge. Es kaun
aber m beliebig viele Werte annehmen, weshaib es beliebig viele
G3leiehungen letztgenannten Grades gibt, welehe je wenigstens eine
reelle Wurzel von dem Typus a + b ~ mab haben. Unter diesen
Gleichungen sind gewil3 zwei, welehe dasselbe Wurzelpaar enthalten
und reelle Werte fuir a + b + mab liefern. Sind diese reellen Werte
at+ b+ mab und a +b +m'ab, dann sind a + b und a b auci reell,
sowie der Trinom X2 - (a + b) x + a b, welcher ein Faktor der vorgelegten Gleichung ist. Wenn i == 2, so hat eine Gleichung des Grades
2- 'S', wie eben gezeigt worden, einen quadratischen Faktor. Es
gibt beliebig viele Faktoren des Typus a + b + na b, -weiche Werte
von der Form e + g }/- -1 annelimen, woraus gesehiossen wird, daB
a + b und a b gleitchfalls diese Form haben, und daB die vorgelegte
%ileichung einen reellen quartisehen Faktor enthijit. Ftur i > 2 ist
das Verfaliren iihnlich.
In ei-ner Schrift, On the roots of equations') gibt James
Wood (1760-1839), damals Fellow in St. John's College, emn emnfluBreicher Mann auf der Cambridge Universitiit, einen Beweis, daB
eine Gleichung nteon Grades n Wurzeln von der Form a -4- j/~ b besitze. Der EulIe rsche Beweis dieses Satzes sei niclit ailgemein,
wahrend Warings Auseinandersetzungen zu kurz und schwer verstandlich seien. Wood demonstriert den Satz, daB zwei Wurzeln
einer Gleichung 2mten Grades durch die LUsung einer Gleichung
m (2 m - 1)tef Grades gefunden werden kdnnen. Wenn muiglich, seien
z ~ v und z - v zwei Wurzeln der vorgrelegten Gleichung. Man erha"t durch Substitution dieser Werte und Addition und Subtraktion
der erlangten Ausdrticke zwei Gleichungen, die sich durch y =- V2 in
y"m + bym-1 + - = 0 und Aft-' + By m2 + - = 0 reduzieren.
Letztere haben einen gemeinschaftlichen Faktor y ~1- Z, wo Z eine
Funktion von z und bekannten GruiBen ist. Diesen Faktor findet er
nach der bekannten Divisionsmethode, indem er den von y freien
Rest gleich Null setzt. Dieser Rest ist m (2wi - 1)t-"' Grades in z.
jExistiert nun emn Wert von z, dann existieren audi Z, und der genmeinschaftliche Faktor y -A- Z, sowie zwei Wurzeln z ~ 1V + Z der
vorgelegten Gleichung. Nach dieser Vorbereitung nimmt Wo od an,
daB jede Gleichung ungeraden Grades wenigstens eine reelle Wurzel
Ihabe, und deshalb auf eine 2n mten Grades erniedrigt werden k~inne.
1st m eine ungerade Zahl, so ist es auch mi (2 m - 1), weshaibz

') Phil. Trans. Vol. 88, for the year 1798, London 1798, p. 3G9-3 77.