Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Algebra.

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dern Astronomen Friedrich Theodor v. Schubert (1758 -1825)
aus Helmstedt die Regein in Newtons Aritlimetica universalis
fMr die Auffindung linearer und quadratischer Faktorena eines Polynoms,
F'(x) = A xm + Bxm -I + angegeben un d auch eine allgemeinae
Regel, urn rationale Faktoren 1'(x) == ax" + bx11' + '- h~heren
Grades anfzufinden, abgeleitet. Diese Arbeit scheint von Mathematikern tiberselien worden Zn secn, denn noch 1882 iiuBerte Kronecker
das BedUrfuis einer ailgoemeinein Zerlegungsm ethodeD). Schubert
grrUndet sein Verfahren auf folgendes dlurcli mathematisehe Induktion
bewiesene Lemnia: Gibt man dem, x in X = xn nacheinander die Inkremente 1, 2, 3,..., so ist die nt-e Differenz JnX == 1. 2.3..n
FUr jeden ganzzahligen Wert x1 von x 1st der Wert von F(x1) emn
gauzes Vielfaches des Wertes von f'(x,). Man trage nlun fUr x nacheinander die Werte.. 2, 1,~ 0, - 1, - 2. ein. Fir jeden derselben zerlege man den Zahienwert von E(x) in seine grauzzahligen
Teiler. Wenn man jeden dieser Teiler fMr irgendeinen Wert von x, von aXn
abzieht, MUB, wenn emn Faktor f(x) ilberhaupt vorhanden ist, unter
den versehiedenen Resten der Wert von ax" - f(x) sich vorfinden.
Werin man jetzt in der Berechnung von,4(ax ~ - fx)) 2(a2 (jix - 1'(x))
fUr die oben angredeuteten Werte von x alle m~iglichen Kombinationen
von Minuenden iind Subtrahenden maclit, wird es m~iglich sein, fair
i1- 2(ctx~ - f(x)) Werte zu, erhalten, die eine aritlimetische Reihe
bilden. Ist dieses niclit mo-glich, so kann F(x) nichit in Faktoren zerlegt werden. 1m Verfabren Kroneckers werden statt der Differeuzeninethode linterpolationsformnein gebraucht. Sonst sind die zwei
Miethoden ganz jiihnlich.
Einen interessanten Versuch naclizuweisen, daB Gleichungen von
gyeradem, Grade in lauter reelle trinomische Faktoren zerlegt werden
k~5nnen, machte Laplace 1795 in semnen Vorlesungen auf der
Normalschule 2). Die Wurzelexistenz wird stillschweigend vorausgresetzt. Ist der Grad der vorgelegten Gleichung 2'S, und S- eine
ungerade Zabl, und sind a, b, c,... die Wurzeln, so solt man eine
neue Gleichung vom, Grade 2' ' 215 8 - 1) bilden, deren Wurzeln
at + b + mab sind, wo rn verschiedene bestimmnte Werte annelimen
1)Journal f. r ui. a. Mathematik, Bd. 92, S. 10. 2) Se'ances des 6eoles
normales, an III (1794-1795) = Journal de 1e'6ole polytechnique 7. et 8. cahiers,
T. III 1812, p. 56, 57. Vgl. G. Loria, IL teorema fondamentale della teoria
delle equazioni algebriche, Rivista di matematica, 1891, p. 185-248; CG. L ona,
Esame di alcune ricerche concernenti l'esistenza di radici nelle equazioni algebriche, Bibliotheca mathematica 1891, p. 99- 112,