Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XX.

vona x freien Teil gleich Null. Man erh~ilt auf diese Weise zwei
Gleichungen, u-nd eine dritte dureli die Annahrne a b= -a, aus
welchen man die unbestimmten Grii8en a und b eliminieren soil.
Die Gr6iBe a stellt sich hier als das Quadrat der Halbdifferenz irgrend
eines Wurzelpaares der vorgelegten Gleichung heraus. Ist letztere
m ten Grades, mul3 erstere 2 M- ~e Grades sen ennun i e
Endgleichung, u negative Werte hat, sind in der vorgelegten Gleichung imaginiaire Wurzeln vorhanden, sonst niclit. Ob u negative
Werte babe oder nlicht, lasse sich durch Descartes' Zeichenregel
entscheiden. Gibt es in der Reihe der Koeffizienten lauter Zeichenweebsel, so hat die vorgelegte Gleichung keine imaginiiren Wurzeli;
sind Zeichenfolgen vorhanden, dann sind imaginiire Wurzeln gewiiB
vorhanden. Lagrange erkliirt, daB die Anzahl von imagiciniiren
Wurzelpaaren nicht grU8er als die Auzahl Zeicheinfolgen sei, weshaib
man wisse, daB sich imaginiire Wurzelpaare vorfindena, nicht aber
deren Auzahi. Urn diese Alizahi niiher zu untersuchen, berechne man
eine zweite, transforruierte Gleichung, deren Wurzeln die Quadrate
der ialabdifferenze-n zwischen der Summe zweier Wurveln und zweier
anderer Wurzeln der vorgelegten Gleichung sind. Hat diese neue
Gleichung keine negative Wurzel, dann hat die vorgelegte Gleichung
nur zwei imagifhire Wurzeln. DaB eine negative Wurzel wenigstens
vier imaginiaire Wurzeln der vorgelegten Gleichung andeuten wiirde,
ersiehit man aus dem Ausdrucke (+- -d fMr die Wurzeln
der transformierten Gleichung. Sind a und b, c und d zwei konjugierte
imaginiire Wurzelpaare, so muf3 obiger Ausdruck einen negativen Wert
annehmen. Urn berauszuflnden, ob nicht melir als vier imaginiire
Wurzeln existieren, bilde man eine dritte Gleichung, deren Wurzeln
die Quadrate der Differeuzen zwischen der Samme von drei Wurzeln
und der Summe dreier anderer Wurzeln sind. Hat diese dritte Gleichung eine negative Wurzel, dann besitzt die vorgelegte Gleichung
wenigstens sechs imaginiaire Wurzeln. Weun notwendig, k~nne man
noch weitere Transformationen unternehmen. Lagrange bemerkt,
daB ihm kein aligemeines Kriterium zur Bestimmung der Auzahi
negativer Wurzeln einer Gleichung bekannt sei. Diese Metbode fMr
die Bestimmung der Anzabl imaginairer Wurzeln ftihfrt immer zum
Ziele. Sie ist der Glanzpunkt der Resultate, welehe man im 18. Jahrhundert fiber diesen Gegrenstand erreiclit hat.
Endlich leitet L agrange noch die Beziehungen zwischen den
Koeffizienten einer Quartic, welche die Natur ihrer Wurzeln bestimmen, ab, und bemerkt, daB schon friiher Waring in semnen Medi