Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Algebra.

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wo [p]-m == 1 L p + min] ist, und nimmt obne weiteres an, daB diese
Ausdriicke sich ftir Bruchwerte von mn und n bewiihren. In der
iFormel [q]fl[p]=f= [q + r1n [p + r]-?. [p]-r[q] r: [p + n] r[q -nj r
Iiit er r unendlicli werden und erhujIt dadurch das unendliche Produkt,
[q]n [pl-n =[p]-ci- [q]- -: [p +n] - [q - n-c
=(p ~ n + 1) (q - n + l) (p + n ~ 2) (q - n+ 2)...:(p + 1) (q+ l) p + 2) (q + 2)..
Die Anwendunig seiner Resultate auf den Kreis ergibt die Ausdrficke
2 rl~~~r ~~ 2.2 ~und 2/'vrDie irrationalen Formen zweiterOrdnurng [q]" [p}- nlassen sich, wie gezeigt wird, 8fters
auf rationale Zahien oder auf einfachere irrationale Gr6i1en reduizieren.
Z. B. [V ~]T= — ~}[ ] =J2. Kriterien der ver -
schieden en Irrationali titsarten werden aber nieb t entwickelt.
In den Nova acta eruditorum gibt Fagnano eine Demonstratio theorematis Studeniani pro reductione aequationlum,
quae radices habent aequales'). Der Satz heiBt: Wenn die Glieder
einer Gteichung, deren in Wurzeln einander gleich sind, mit den
Gliedern irgendwelcher arithmetischen Progresssion je multipliziert
werden, behiilt die neue Gleichung mn - 1 der gleichen Wurzeln bei.
F augnan o beweist zuers 1 den Satz fuir Gleichungen mit lauter gleichen
Wurzeln. Werden die Glieder von (x + a)n -= 0 mit den entsprechenden Gliedern von p. p + q, p + 2 q,... mnultipliziert, erh~i-t man
(p [x + al + nqa) (x + a)"' 0. Dieses Resultat wird nun auif
(b + cx + dX2 +...) (X A- a)"~ b (x + a)" + cx (x + a)"... angewandt,'
wo die Glieder von b (x + a)n, cx (x A- a)n,... mit den entsprechcndcn
Gliedern von je p, p ~ q,..., p + q, p + 2 q,..., miultipliziert werden.
Nun folgt die Abbandlung Va nd erm o nd es, M em oi re s ur l' i m i -
n at IOn 2), wormn er fdir n Gleichungen ersten Grades eine Eliminationsforruel von sehr gedrringter Form entwickelt und seine Selireibart auf
Elimination zwischen zwei Gleichungen h~iherer Grade anwendet; sie ist
eine far die Determinantentheorie besonders wichtige Schrift. Va nd ermnonde erfindet eine Bezeichilung, welche mit der spdter von Syl1)Nova acta eruditorum, 1776, p. 1-11.,,Studeniani"l soilte,,Hudenianil"
heiBen. Man findet Huddes Satz in der Ausgabe der Descartesschen Schrift
Geometria h Renato des Cartes, Amsterdam 1659 (weiche auch Arbeiten von
Hudde und anderen niederliindischen Mathematikern enthilit), S. 435.
2) Ristoire de 1'acad. roy. des sciences, ann6e 1772, IL. Partie, Paris 1776, p. 516
l~is -532. Vg1. Thomas Muir, op. cit., S. 15-23.