Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XX.

zn zerlege-n, nicht immer znm Ziele fUhrt, da dasselbe auf
Formeln fib' die Bestimnmung der Koeffizienten fillhrt, die in gewissen
0
Fail~en unbestimmt, 01 sind. Es gelingt Lagrange, diesen Einwutrf
gegen die Methode Enlers und de Foneenex' zu beseitigen, indein
er hier seine in den Re'flexions sur ia resolntion des equations,
Sektion IV, n. 100,7 entwickelte Permutationstheorie anwendet, welche
den Wert einer rationalen. Funktion y der Wurzeln zu berechnten
lehrt, sobald man den Wert einer anderen Funktion t kennt, solcherart, daB t ftir alle Perinutationeii sich jindert, wotkir sich y iindert.
GauB iiuBerte sich anerkennend Uiber diese Arbeit. Der grofie Lagrange habe die Sache,,so tief durchforscht, daB niehts Weiteres zu
wiunsehen bleibt; abgesehen davon, daB vielleicht bei seiner vorausgehenden Behandlung der Etiminnationstheorie, auf weiche sich die
gesaminte Untersuchnug stiitzt, einige zweifelhafte Punkte zurijekbleiben" ').
De Foncenex' Beweis wird von Louis Bertrand in Schutz
genommen2). Bertrand behauptet, da das Verfahren des Verfassers,
nur in sehr seltenen Miillen miBlingre. In diesen k~5nne man eine
Gleichung, deren Wurzeln die Quadrate der Wurzetn der vorgelegten
Gleichung seiell, als llilfsgleichung ableiten, welche zum Ziele fiihre.
Diese Aussage wird nur fUr die Quartic bewiesen. Wenn Lagoranges
Einwurf gegen X4 - Ax' + BX2 _ Ox + D == 0 gelte, gelte er gegren
-4 (A 2- 2B,)x3 + (112- 2AC -+ 2D)X2-_ (C2 - 2B1D)x + D)2~ U=
nicht. Da nun die Qnndratwurzeln einer Gr6Be a + b }/ -1 von der
gleichen Form wie dieselbe sind, sei der Satz fUr die Quartic bewiesen.
Audi bei Bertrand wird. die Wnrzelexistenz ohne weiteres vorausgesetzt.
In einer Schrift, Sur des irrationnelles de diffe'rens ordres
avec une application an. cercle3), entwickelt Yandermionde eine~
nene iDarstellungsweise der Irrationalen, indem er eine Vernilgemeiner-ung des Symbols PI', p=. p -_. p. (n Faktoren) annnirnmt, wormn die
zweiten statt der ersten Differenzen der Faktoren Null sind. Er
schreibt [p}', -p1 (p) - 1) (p - 2)... (p - n -F 1) und entwickelt die
Operatiousregein daflir. Er findet
[p) + rn + n1n [p]-1- = [p -1 mn + u ]11'[pj + ~ lml' [o]-L1 1 1' [rh'I
+ [rnr2 Lot2 [n12 [p]-2 + I
')C. F. G auBi,,,Neuer Beweis des Satzes.. "1, ~ 12 in O st walId s Klassiker,
Nr. 14. 2) L. Bertrand, D6veloppement nouveau de la partie 616mentaire (tea
math6matiques, T. H1, 'a Gen~ve, 1778, p. 499. 3) ilistoire de 1'acad6mie royale
des sciences, anne~e 1772, Premie're Partie, Paris 1775, p. 489-498.