Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Algebra.

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chung, f ratioinale Funktioneii dieser Wurzeln, und nimmt man im allgemeinen das Produkt von so vielein Faktoren
als VersetZUngen unter den Wurzeln x', x", m~iglich sind, nam.lich co = 4It Faktoren, so ist gt die Anzahi Wurzehi von einer irredu -
ziblen Gleichung &_ -= to C X - ]J/ICt'' -H 2- ~... == 0, wo ill die
Sumime aller Fuiiktionen, NY die Sumine aller Produkte je zweier
1Funktionen etc. (larsteilt. Es folgt, daB M, IVN>. rationale Fnnktionen
der Koeffizienten sind, welehe, wie schon Cramer und Waring gezeigt
hatten, direkt berechnet werden k~innen. Wenn niciit jede Permutation
uingleichfdrmige Funktionen liefert, und man gleiche Fnnktionen aus'-Whlie3t, stelit sich & = 0 von niederem Grade heraus. Es ergibt
~ic da tesutat(~99), daB 1) alle gleichartigen Funktioe vn
7, x,.. (iimlich Funktionen von denselben Wurzehn, die bei einer
Igewissen. Permutation sich gleiehzeitig iindern oder sich nicht iindern),dureli Gleichungen von gleichem- Grade bestimmnt sind; 2) daB
-dieser Grad der Anzahi verschiedener Werte der Funktion. gleich ist
und immer ig oder ein Teiler von ~m ist, 3) daB diese Fnnktionen. berechnet wei-den k~innen. Eine soiche Funktion kanin rational durch
vine gleichartige Funktion ausgedrfickt werden. Hat man zwei
rationale Funktionen, y und t, soicher Art, daB sich t ffur jede Wurzelpermutation 'ver~ndert, weiche zugleich in y eine Variation hervorbringt, danD lUht sich y rational durch t und den Koeffizienten der
v-orgelegten Gleichung ausdrtickeu. Lagrange erkeunt diesen Lelirsatz als eunen der wiclitigsten in der Gleichnngstheorie (~ 100).
(51 Jalire spditer erhielt dieser Satz eine aligeineinere Formulierung
dlureli Ef~var ist e Gal oi s. Die Eigenschaften dieser rationalen Funktionen werden dureli die Kombinationsrechiinng (,,calcul des combinaisons") untersucht. Man findet darin die Keime der groBen Subs-titutioustheorie. Lagrange sagt (~ 109):,,Dies sind, wenn ich
nicht irre, die wahren GrUnde von der Aufl6sung der Gleichungen,
aind der eigentliche Weg, weleher uns dahin filliren kann." In der
Vorrede des dritten Abschnitts, sagt er:,,Aus diesen Betraclitungen,erhellet, daB es iiuBerst zweifelhaft ist, ob die Methoden, von welchen
wir geredet haben, zu einer vollstiindigen Auflbsung der Gleichungen
vom fiinften Grade, und noch viel mehr der h~iheren Grade fifihien
k~nnen."
Kurz neach Lagranges AbliandlUng erschien eine andere wichCANTOR, Geschichte der Mathematik IV. 8