Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XX.

nach Tsehirnhauseni zu ibsen, setzt man XJ t 'X1.
+ y = — 0, wormn f, g,... unbestimimte Koeffizienten sind, und erhiilt
y" +I A y"(-1 + ByL1-2+ Cy,-3 +.._~ 0, wo A, B, C,... rationale,
ganze Funktionen von f, g. sind. Man darf A B =C =* =0
setzen, so daB y," + V== 0. Istu~ zusam men gesetzt mnid vco, so erhiilt man
im ailgemeinen elne Resolvente des Grades v (v + 1) (v + 2).. - 1).
0-1
Weiin gi prim ist, ist sie des Grades 1. 2. 3. -1), kann aber
immer in 1. 2. 3... (t- 2) Gleichungen It - 1"I" Grades, mit Hilfe
einer Gleichung 1I. 2 3...(I- 2)tfl Grades, zerlegi werden. Fur
p = 5 ist der Grad letzterer Gleichung 6; fAir t == 7 ist er 120.
Wie hoch aber auch der Grad I. 2. 3 - 2) sein mag, bietet
ihre Lbsung keine Schwierigkeiten dar, die man niclit zugleich in
der vorgelegten Gleichuing Itien Grades findet, deun die ~t-2-Wurzeln
sind bekanante FUnktionen der ~t Wnrzeln x', x", x''...un ddeshalb
nicht unabhi!Dgig voneinander, sondern. durch t -2 - tt BeziehungYen
nmiteinander verbunden. Resolveniten der gleichen Grade ergeben sich
im. aligemeinen aus Eulers und Be'zouts Methoden. Eine zweite
Auflbsungsmethode von Be'zout wird untersucht. Dieselbe liefert
fair die G-IeichUng 6ten Grades eine Resolvente des 1Qtenl Grades, die,
Be z ount s Vermutung zuwider, ii icht in zwei Gleichungen zerlegt
werden kann.
Mit diesen kurzgefaf~ten Auseinandersetzungen des dritten Teils
der L agrange schen Schrift scbreiten wir zum letzten Teil, wo er
zeigt, daB alle bekannten Auflbsungsmethoden sich auf das gleiche
ailgemeine Prinzip reduzieren lassen. Dieses bestelit darin, Funktionen
der Wurzeln der vorgelegten Gleichung zu fin den, soicherart, daB
1) die Gleichung oder Gleichungen, von denen diese Funktionen die
Wurzeln sind, von niedrigerern Grade als dem. der vorgelegten sind,
oder wenigstens in solche zerlegt werden kbnnen, 2) man dfie gesucliten Wurzeln auf bequeme Weise herleiten kann. Die Auflbsungskunst bestehit also in der Entdeckung soicher Funktionen. 1st
es mbglich, fUr jIt> 4 solche Funktionen zu finden'? Dies sei im
allgemeinen sehr schwer zn beantworten. Ffir n < O' sei x' + yx"
-I y2x"'f +... + yl' 'x(P) die allgemeine Form der einfachsten Funktion
der Wurzeln x', x",.,wo y eine imaginii're pate Einheitswurzel ist.
IDa fair n =- 5 diese Fnnktion niclit zum, Ziele ftlhrt, miise die Aufibsung durch neule Funktionen erfolgen, wenn sie ilberbaupt mdglich
sei. Bisher habe er solehe Funktionen nur a posteriori gesucht,
nun wolle er zeige-n, wie rationale Fnnktionen a p ri o ri zu fiuden
seien.
Sind (~ 95) x', x", x"',. die Wurzeln der vorgelegten Glei