Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Algebra.

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Jlisungsmethode und zeigt, daB diese, sowie alle anderen, die Auffindung -von Resolventen, deren Wurzeln entweder X' -+ X" a + X"' U2
oder (X' + X"a -I X"'a2)3 sind und deren Grad eutweder der seebste
oder der zweite ist, erfordern.
In diesen Untersuchungen hatte La g ran ge Gelegenheit, die Kriterien abzuleiten, damit zwei Gleichungen mehr als eine Wurzel miteinander gemein haben. Sind P = 0, 9 = 0 die zwei Gleichungen,
nehme man P == y und schaffe x aus beiden Gleichungen weg. Man
bekommnt y'+a'I+ ---+p'+q =0 Da 11111 r ==0 sein
muB, damit P = 0 und Q = 0 eine gemeinschaftliche Wurzel haben,
dr
so wird zu zwei gemeinschaftlichen Wurzeln r =- 0,d 0, und zu
dr d 2r
dreien r =- ()- 0 und 0 etc. erfordert, wo das letzte
Glied der einen von den gegebenen Gleichungen ist.
Zur Gleichung vierten Grades schreitend, bespriclit Lagrange
die Methoden von Ferrari, Descartes, Tschir-nhausen, Euler,
Be~zout und zeigt den Zusammenhang Und die gegenseitige Abhbingigkeit derselben. Er gibt die a priori Griinde an, warum einige davon auf Resolventen dritten, andere auf soiche sechsten Grades ffthren,
die aber zum dritten erniedrigt werden k~nnen. Die Wurzeln dieser
Resolventen sind Funktionen der GrdlBen x', x" x"' x'i solcier Arty
daB, wenn alle rnbglichen Permutationen der vier Gr5Ben stattfinden,
nur drei versehiedene Werte entspringen, wie bei x'x" + x"...x~, oder
sechs Werte, von denen je zwei entgegengesetzte Zeichen aber
gleichen absoluten Wert habeii, wie bei x' + x"- - x"' -x~, oder
audi sechs, Werte, die in drei soiche Paare verteilt werden kbunen,
daB, wenn man die Summe oder das Produkt der Werte jedes Paares
bildet, diese drei Summen oder drei Produkte, bei irgend einer Permutation der x', x x"' x~v immer unverlindert bleiben. Auf der
Existe'nz solcier Funktionen ruht die ailgemeine Aufksung biquadratiseher Gleichungen.
Lagrange kennt zwei Methoden, durch deren ililfe man vielleiclit die aligemneine Aufl~sung der quintischen Gleichung erwarten
diirfe: die Tsehirnhausensche Methode und diejenige von Euler
und Be'zotit. Diese ergeben eine aligemeine und einheitliche LUsung
der kubischen und biquadratisehen Gleichungen, erfordern aber bei der
Quintik die Ldsung einer Gleichung des 24ten~ Grades, die gewil3 nicht
auf einen niedrigeren als den 5tel' Grad reduziert werden kanun.
Lagrange sucht a priori die Tragweite dieser Methoden z r
'nittein. Urn die Gleichung

x~l -+ rnxi - + nxY-2 +_pX-3 +... = 0