Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XX -

L agrange s sind mehr abstrakt, dringen tiefer und zeigen grbi1ere
Pra~zision der Darstellung.
Lagrange maclife einen neuen Anigriff auLf das Eliminationsproblem in einer Sebrift, Sur e'6limination des inconnues dans,
l es e6q ua ti o ns'). Wenn zwischen z wei simultanen Gle ichungen 0 1= +
a b ud 1+A 2+ (_CX)(_O)
beziigrlich rnten und nten Grades, x eliminiert werden soil, is t es Miar,
daB das Produkt TfI=(1 +aa + b a' +. (1 +Fa[3+bi32+.
= 0 sein muB. Der Logarithimus dieses Produktes II1 liefert n
Glieder, log (1 ~ aca + a a2 + - - + etc., wovon jedes in einie Reihe
entwickelt wird. Dann ziehit er die Theorie der symmetriseheu
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Fnnktionen zu Hilfe und erhuiltf eine Reihe H == 1 - p+ 12 -....welche T] als eine FUnktion von a, b, c... und A, B, CQ... ausdritckt. Die Gleichung H =- 0 hat kein Glied, wormn die ca, b, c..
zusammen die Dimension m, und die A, B, C,... zusammen die
Dimension n tibersteigen. Das \Terfahren ist schwerfi"Illig und hat
keine weite Annalime gefunden.
Die bedentendste Abbiandlung fiber Gleichnngstheorie des 18. Jalirhunderts ist wohi die Arbeit von Lagrange, Re'flexions sur la
resolution alge'brique des equations2), denri darin, wie in keiner
anderen, werden aligemeine Gesiclitspunkte erreiclit und die Grundlagen der Methoden gelegt, anf weiche spiiter Rnuffi ni, Abel und
Galois weiter bauten. Er fiingt mit der kubischen Gleichung an
und zeigt, daB ihre L5sunng von einer Resolventen-Gleichung seclisten
Grades abhiaingt, die er re6 duit e derjenigen dritten Grades nennt.
Sind a, b, c die Wurzeln der kubisehen Gleichungr, y eine Wurzel
der re'duite nnd cc, /3 die iimagin~iren Werte von so 1 5 bat man
3y ==a + ab + /3c. Da der Wert des y nicht direkt von a, b, c,
sondern von den Koeffizienten der kubisehen Gleichung abhuingt, in
denen die drei Wurzeln gleichf~irmig eintreten, so ist klar, daB man
in dem Ausdruck fair 3y die drei GrdlBen a, b, c willkiirlich. vertauschen kann, wodurch man sechs versehiedene Werte fair 3y erbillt.
Wenn nun Aa + Bb + Cc einen Wert von y darstellt, wormn A, B,
C von a, b, c unabhbingig sind, so kann man a, b, c anf alle m~igliche
Weisen vertansehen und so die sechs Wurzelna nnd endlich die Resolvente selbst herleiten. Er erkliirt die Tschirnhansensche Auf2)Mdmoires de l'acad. roy. des sciences, anne'e 1769, t. 25, Berlin 1771,
p. 303-320 == Oeuvres, T. III, p. 141-154. 2) N. m~moires de l'acad. roy.
des sciences, anne'e 1770, Berlin 1772, p. 134-215; anne'e 1771, Berlin 1773,
p. 138-2054 =- Oeuvres, T. III, p. 205-421.