Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XX.

den Meditationes algebraicae, 1770, wiedergegeben. Letzteres
ist aber ein gr6Beres, Werk und enthiilt vieles, was sich irn ersten
nicht vorfindet oder dort nur ganz kurz angedeutet ist. Die einschiagenden Neuerungen finden sich aber alle schon irn ersten
Werke.
Er zeigt unter anderern folgende Methode, die Grenzwerte
von Wurzeln festzusetzen: Hat (A) x" - _px1- + etc. = 0 die reellen
Wurzelu cc, P3, y, etc., wo a>j>~>*,dann hat (B)nxn-'(n - 1)_p Xn-24~ etc. = 0 die reellen Wurzeln z, 9, o,..., weiche beztiglich zwischen cc und /3, j3 und y' etc. liegen; audi liegen die
Wurzeln von h A + mn B == 0, wenn h und in gleiche Zeichen haben,
beziiglich zwischen cc und zr, 03 und 9 etc.; wenn aber h und in
entgegengesetzte Zeichen habein, ist eine Wurzel von hA +mB =0
grbl~er als a, wiihrend die iibrigen beziiglich zwischen -r und /3, 9
und y etc. liegen. Wenn h und rnt gleicbzeichig sind, liegt eine
Wurzel von h A + mB == 0 zwischen der kleinsten positiven und,
Null, und eine, andere zwischen der kleinsten negativen und Null von
der Gleichung A = 0. Nun leitet er mehrere Regein ab, weiche annahernd die Anzahl imao'iniirer Wurzeln einer Gleichung angeben'),
die aber wegen ihrer komplizierten Natur keine Aufnahrne gefunden
haben. Ist die vorgelegte GleichUng 2) Xv - p Xn -' + qxn - - etc. 0, O
so elirniniere man x zwischen derselben und n IX' -_ (n _ 1)pX,,-2
+ etc. == v oder zwischen Xn _~-px' + etc. v= und nx- (n -1)
pX,,2 + etc. == 0, und man kann aus der Gleichunig v" Av"' - +
Bvn-2 +... + S = 0 immer die genanie Auzahi irnaginiirer Wurzeln
in einer Kubik, Quartik und Quinfik eutineliren, und in einer hi~herell
Glieichung entscheiden, ob sich imaginiire Wurzelu vortinden. Das
letzte Glied entscheidet ferner, ob die Auzahi solcher Wurzelu 2, (3
10 etc. oder 0, 2, 8 etc. ist. Urn Descartes' Zeiche-nregel nachzuweisen, wird hervorgehoben, daB bei Multiplikation des Polynorns
~durch (x - a) die Auzahl der Zeichenweclisel urn 1 oder 3 oder 5 etc.
vermehrt wird. Die Diskussion komplexer Wurzeln nirnmt 80 Seiten
von Warn ngs Quarto-Werke ein.
Es wird3) eine Methode vorgeftihrt, Ann~iherungen zu imaginiiren
Wurzelu zu, flnden. Ist a + b j/1iZ 1 ein N~herungswert, so kann
man grbilereGenauigkeit durch die Substitution von x a + a' +
(b + bI) J/' I in die vorgelegte Gleichung und die Festsetzung der
beiden Werte, a' und b', durch Auflo-sung der erfolgten Bestirnmung8 -gleichungen erlaugen. Dann wird emn Verfaliren skizziert, urn aus
1) Meditationes algeb., ed. tertia, 1782, p. 68, Problem IXT i.2) Ebenda,
p. 87, Problem XIII, XIV. '3) Ebenda, p. 268.