Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Algebra.

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Wurzel sich in der Form a + b J/' 1 ausdriieken lasse, wo a reell
ist, b aber diesmal entweder reell oder eine durch j/- 1 niclit teilhare imagiuhire Gr8ife ist. Fu~r x substituiert er a + b }/- 1 und
bildet aus dem Resultate zwei Gleichungen, wovon die ejine aus den
mit dem Faktor /- 1 behafteten Gliedern besteht und die andere
alle iirigen Glieder enthhillt. ErhUilt nun a in einer dieser Gicichungen einen willktirlichen Wert, dann MhIt sich der korrelative Wert
von b bestimmen. Setzt man diese Werte von a und b in die
andere Gleichung emn, so erhuilt man Ansdrticke fMr die Bestimmung
der Spezialogleichung desselben Grades, welche x - a - b Ii~ als
Faktor enthilit. Steilt sich b als eine durch j/ -1 nichi teilbare
imaginhire Gr65 1e heraus, dann ist dieser Faktor imaginair, in anderen
Fhiuleu ist er reell. Setzt man z. B. in der GleichungX3 +pX + q 0
dTen Wert a + b Ii- 1 ffur x, dann erhhilt man nach obigrer Anweisung
die zwei Gleichungen (ac) a3 - 3 a b + ap +q =0,O (13) b 2-3a 2-p= 0.
Eliminiert man b2, so wird (y) 2 a(4 a2 + p) - q == 0. Der kleinste
Wert, den a' in (13) annehmen kann, ist 0. Setzt man in (a)
a = 0 und b =~J/p,1~ so wird q = 0, und x~J /-_p ==0 ist emn
Faktor der Gleichung. Aus (i3) zieht man b == ~ -~3 a2 +; ffur
Werte von p > - 3 a 2 ist b also immer reell und zwei Wurzeln der
Kubik sind immer imnaginhir; b = 0 ist der Grenzwert. Setzt man in
(a) b == 0 und a ~= J,/i- so wird 4p' + 27 q2 - 0, in welchem, Falle
x -I- -P 0. Nun kann b nielit reell sein, wenn y in der Gleichung (1) 3 a 2 -Hp - y == 0 nieht positiv ist. Diese Gleichung, in
VerbindUng.mit (aC)und (13), liefert 4 p2 + 27 q2 =: 4y (4y - 3p)2, woraus.
zn ersehen ist, daB die vorgelegte Gleichung nur dann imaginhire
Wurzeln haben kann, wenn y positiv, und folglich 4p' + 27 q2
positiv ist. Se6j our lIdBt eine ausf~hrliche Besprechnng der Quartik
und die geometrische Deutung seiner Resultate folgen. Lagrange
drtickte sicl iUber S6j o ur s Verfahren anerkennend ans 1), m6chte
aber dasselbe auf die Quintik flbertragen sehen. Dies soil S'j onur
knrz vor seinem Tode wirklich erzielt haben; die neue Abliandlung
sei aber verloren gegangen 2).
Die llauptresultate fiber Gleichungen in der Miscellanea analytica, 1762, wurden von Waring in etwas verhinderter Form in
1)Lagrange, O)euvres, T. XIV, p. 71. 2) Michaud, Biogr. univ.; Laplace,,,Leyons de math. donn~es h e'~cole normale", Journ. de 1'e'cole polyt.
T. II, Paris 1812, p. 44.