Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Algebra.

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sind, lauter positive Wnrzeln, und die Zeichen ihrer Koeffizienten
wechseln besliindig ab. Zweitens, in der Gleichung x" - an1
+ bxn 2I *. 0 mit reellen Wurzeln muI3 die Summe der Qua2 n
drate der Wurzeldifferenzen positiv sein, und foiglich a'2> - b.
Drittens, hat die Gleichuing xn + axn-' + bxI-2 +. 0 lauter
reelle Wurzeln, daun haben die zwei davon abgeleiteten Gleichungen
n- 1tcn Grades audh lauter reelle Wurzeln: n~n-1 + (n -1) ax'? -2
+ n-2 x-.=_0 axn-1+ 2 b Xn-2+ 3 cxn-3 +. ===0. Den
iNachweis dafiir zieht er aus der Kurventheorie. Mir die erste betrachtet er dx 0, und ftir die zweite setzt er erst x = 1/z. Durch
Wiederholung- der Operation flieBen aus den zwei Gleichungen
- Pen Grades drei Gleichiungen n - 2t1ii Grades und vier Gleiehuingen n - 3ten Grades usw., bis man endlich auf quadratische Gleichungen k ommt, deren. Wurzeln leicht erkennbar sind. Es ist zu
beacliten, daB von diesen drei Kriterien keines hinreichend ist, und
keines die Anzabl imagin~rer Wurzeln anzeigt, im Falle, da.B soiche
sich -vorfinideni. Die zwei ersten Prinzipien findet man schon in
N ewtons Aritlimetica universalis.
Das dritte Prinzip Eulers wird audi vonl J. II. Lambert ill
semnen Observations sur les equations d'un degr6' quelconque'1)
hergestelit. Urn die Bedingrung ftir die Existeniz grleicher Wurzeln
einer Gleichung zI -+ aZ2 + bz + k == 0 zu bestimmen, findet Lambert den gr6blten gemeinschaftlichen Teiler zwischen zI + a Z2 + bz
-I- k uind 3 z2 + 2 a z + b, und setzt den letzten. Rest gleich Null. In
eiuer zweiten Abliandlung des gleichen Jahres2 ) bemerkt Lamb ert,
daB Analysten. wenig HoffnUng hegen, die aligemeine Auflisung
algebraiseher Gleichungen zn erzielen, weshaib es wrilnschenswert sei,
Kunstgriffe ftir die Auffindung der Wnrzeln fMr Spezialffiile zu entdecken. Er beschiiftigt sich hauptsilchlich mit numerischen Gleichungen Nach einem seiner Vorschlage bilde man eine zweite Gleichung, deren Wurzeln die Summe je zweier Wurzeln der vorgelegten
Gleichung sind. Diese llulfsgleichung lasse sich dfters in rationale
Faktoren zerlegen und liefere die erwiUnschte Liisung.
Francisco de Toschi a Fagnano untersucht in einer Schrift,
De infinitarum aequationum resolutione, quarum. radices
sub eadem forma exhibentur, qua radix cubica, quae dicitur Card ani3) Gleichungen, die mit x3 + - — x ~ ay - 0 oder
H)iistoire de 1'acad. roy. des sciences, annee 1763, Berlin 1770, p. 278 bis
291. 2) Ebenda, S. 292-310. ') Nova Acta Eruditorum, 1770, p. 200-227.