Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XX.

bekannten aus zwei Gleich-ungen m~ten und mn'ten Grades, indemn er die
erste Gleichung mit einem, Polynom. ]Jlixn'1 + i. I"- 2 +... Multipliziert und die zweite mit einem Polynom. Mxen -HI Nxm -I + -t-.
und die Produkte addiert. Der Koeffizient jeder Potenz von x in
dieser Summe wird nun 0 gesetzt. Sind z. B. die vorgelegten
Gleichungen Ax2 + Bx + C == 0, A' X2 +B'x -j —0', multipliziert
man beziehungsweise mit Mx + N, M3'x + N', und liit die Koeffizienten von x in der Summo der Produkte verschwinden,7 damnn hat
man AM +A'M`'=QyB3 + B'M + AN +A'N' = 0 CAM+ CM]J
+ BNY + B'N'V 0, ONI + C' N' == 0. Man darf hier den willkiirlichen Koeffizienten Ml gleich A' setzen, dann wird M` A.
Durch Elimination vonl NV N' erhiiit man einen Ausdruck, den man
leicliter durch die Formein obgenan-nten Lemmas niederselireiben
kann. Dies Verfahren hia~t sich, wie Be z o iit erkliirt, auf drei oder
melirere Gleichungen ausdehnen. Um die Operationen abzukUrzen,
schliigt er vor, daB man bei den Gleichungen Ax?"' + Bxml' +..
+ T = 0, A'xm' + I3'xm'-l j.. 1" == 0, im. Falle m == in, die erste
nacheiniander mit A', A' x + B', A' X2 +B'X+ C',..., und die zweite
nacheinander mit A, Ax + B, AX2 + Bx 4- O,...multipliziere und
jedesmal die Differenz der entsprechenden Produkte, niederschreibe.
Man erhalte auf diese Weise in Gleichungen )n - Wltn Grades. Manl
soil dann jede Potenz von x als eine Unbelkannte betrachten, und
das Lemma liefere die Bedingrung fUr die siinultane Existenz dieser
in Gleichungen. Die Frage, ob die Werte der versehiedenen Potenzen
von x bei der Annahme, daB sie versohiedene Unbekannte vorstellen,
miteinander vertriiglich seien, wird niclit bertihfrt. Das Endresultat
erkennt mnan als eine symmetrischo Determinante. Ist in' <in, dann
multipliziereman die zweite Gleichung mit Axm - rn'Axm - rn+ 14 13 -
und verfahre wie oben. Der Grad der Resultante wird achtsam. untersucht und niclit grbi13er als das Produkt der Ordn-Lngsexponenten der
zwei Gleichungen gefunden.
In der Schrift Nova criteria radices aequationum imaginarias dignoscendi') erkiliart Euler, daB3 die damals aufgestellteu
Kriterien fMr imaginaire Wurzeln die Existenz soicher Wurzeln in
einer Gleichung wiex + 4x3 8xI- 24x+ 108 (+8x[ 18).
(XI - 4x + 6) = 0 nicht ku-nd machen. Clairauts Algebra und die
Verdifentlichungen von Waring aus den Jahren 1762 und 1764 waren
ihm. also nicht bekaunt. Euler steilt drei Prinzipien auf: E rstens,
sind alle Wurzeln einer Gleichung reell, dann hat die Gleichung,
deren Wurzeln die Quadrate derjenigen der vorgelegten Gleichung

') N. Comm. Petr., Tom. XIII, pro anno 1768, Petropoli 1769, p. 89-119.